九年级数学上册 24.1.3 弧弦圆心角课件公开课 新人教版

A B
M
O
P
N
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
E D C A
= DE
∵
BC = CD
= DE
O
·
BOC=COD=DOE=35
做一做
如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆
外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B
和C、D。 求证：AB=CD
B E
A P C
M
.
O D
N
F
变式练习：
P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
E
C P
M
B
B
E
P
N
.
O
M
N
.
O
D
A F
D
F
3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。求证：AC=BD
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD 在圆心角、弧、弦、弦心距
A E B
这四组量中，有一组量相等， ∵其余各组也相等。 AB﹦CD ∴ AE﹦CF
∵ OA﹦OC ∴ RT△AOE≌RT △COF
C
O
·
F
D
∴ OE﹦OF
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
2 2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON HN , 即OH 3.9 1.5 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
• 教学重点
理解掌握弧、弦、圆心角的 关系 • 教学难点 弧、弦、圆心角关系的运用
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O
O·
B
A
D
B
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
探究：若∠AOB=∠A`O`B`那
A′
么有哪些等量关系？
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B′
O
·
A
阅读课本P84上 面思考中的问题， 归纳并总结
∵ ①直线CD过圆心O
② CD⊥AB
B
∴ ③AM=BM ④AC=BC ⑤AD=BD
学习目标： 1、发现圆的旋转不变性。 2、了解圆心角的概念，学会辨别圆 心角。 3、发现圆心角、弦、弧之间的相等 关系，并初步学会用它们解决有关问 题。
4、培养通过动手实践发现问题的能力． 渗透“观察→分析→归纳→概括”的数 学思想方法
(4)如果这根原木长15m，问锯出地木材地体 积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ａ
Ｂ
思考 如图，∠AOB=2∠COD，则
AB=2CD吗？
C
⌒ ⌒ AB=2CD吗？
A
O
D
E
B
想一想：点A是半圆上的三等分点,B是弧NA的中点,P是直 径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置 时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.
因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
⌒ AB
⌒ 1B1 AB A ' B '. = A
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角
随堂训练
3．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且 ∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m， 假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的 影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶 时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由， 如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那 N 么学校受影响的时间为多少秒？
永城市第一初级中学
●
O
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直 线都是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转 任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
复习回顾
C
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。
数学语言：
.O
A
M D
3.如图，BC为⊙O的直径，OA是
⊙O的半径，弦BE∥OA,
⌒ ⌒ 求证：AC=AE
C
A
O
E
B
A
知识延伸
如图，AC与BD为⊙O的两条 互 ⌒ ⌒ ⌒ 相垂直的直径 . ⌒ 求证：AB=BC=CD=DA;
证明: ∵AC 与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, AB=BC=CD=DA. ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
B
AOE 180 3 35
75
七、思考
1.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， ⌒ ⌒
AD=BC, 求证AB=CD
C B O D A
2.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点 ⌒ C为AB的中点，M、N分别为OA、OB 的中点，求证：MC=NC
提示：证 MOC

NOC
O M A C N B
2 2
八、作业
1、教材85页
1，
2,
2、完成练习册相应作业。 3、书面作业课本P89页习题
3、
4、
13
30 M P A Q
A
知识延伸
B
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
（2）如果
AB = CD
AOB COD ． AB=CD ， ，那么____________ _____________
AB=CD ． AB = CD ，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ 答 ：OE﹦OF
B
O
D
C
4.已知：如图，∠AOB=90°，D、C将 ⌒ AB三等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E 求证：AE=DC=BF．
B
1、三个元素：
圆心角、弦、弧、
α
Oα A1 B1
A
2、三个相等关系：
(1) 圆心角相等 (2) 弧相等
(3) 弦相等
知 一 得 二
弦心距、 知一推三
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
O
D
C
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特 殊四边形？为什么？ (2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
(3)如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成 一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可 能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
⑴ ∠AOB、∠COB、∠AOC分别为多少度？
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于 点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ 是哪一种特殊三角形？ ⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四 Ｂ 边形，并说明理由。
Ａ
Ｏ
Ｐ Ｄ
Ｃ
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？ ⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？ 当a = 2 3 时求圆的半径?
相等 ，所对的弧_________ 相等 ______ ．
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
温馨提示： 由弦相等推出弧相等时， 这里弧一般要求 都是优弧或劣弧
小试身手 1.判断下列说法是否正确： （1）相等的圆心角所对的弧相等。（×）
（2）相等的弧所对的弦相等。（√ ）
（3）相等的弦所对的弧相等。（×）
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB = CD ，_________________
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现 哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，半径OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．