十、综合法和分析法

十、综合法和分析法

综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.

分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和 已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.

综合法的证明步骤用符号表示:0P (已知) 1n P P ⇒⇒⇒(结论)

分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤;

要正(或为了证明)B 成立,

只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件).

要证1A 成立,

只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件).

… ,

要证k A 成立,

只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件)..

A 成立, ∴

B 成立.

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

一、典例分析

例1: 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc

例2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项.

求证: 2a b x y +=. 证明: 依题意, :a,b,c 三数成等比数列, ∴a b b c =,∴a b a b b c =++,

又由题设: 2a b x +=,2b c

y +=, 而22222()

2a b

a

c

b c

b c x y a b b c b c b c b c ++=+=+==+++++.

例3. 设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．

所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证. 例4 已知a,b 是正整数,求证: a b b a ≥证明: 要证 a b b a ≥()a b ab a b ≥成立，

即证()()()a b ab a b ab a b +≥，即证a b ab ab +≥也就是要证2a b ab +≥,即)0a b ≥.该式显然成立,a b b a ≥二、巩固训练

1、已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：

abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++

2、已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，

求证：2222)(c b a c b a +->++

3、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++

4、已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++

5、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．

【简解】1、证明：∵2

2c b +≥2bc ,a ＞0,

∴)(22c b a +≥2abc ①

同理 )(22a c b +≥2abc ② )(22b a c +≥2abc ③

因为a ，b ，c 不全相等，所以22c b +≥2bc , 22a c +≥2ca , 2

2b a +≥2ab 三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴abc b a c a c b c b a 6)()()(2

22222>+++++

∴2

222)(c b a c b a +->++

3、证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++

=3242422221333x x x x x x x ------++

=)1(234+--x x x

=)1()1(222++-x x x

=].4

3

)21

[()1(222++-x x ,04

3)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴,0]4

3)21[()1(222>++-x x

∴.)1()1(32242x x x x ++>++

4、分析一:用分析法

证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立

证法二:(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2) =(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2

∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd

故命题得证

分析三:用比较法

证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0,

∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2

∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd ,

即ac +bd ))((2222d c b a ++5、 证明：(用分析法思路书写)

要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，

即需证a 2-ab+b 2＞ab 成立。(∵a+b ＞0)，只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，

即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b ，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写)

∵a≠b ，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a 2-2ab+b 2＞0

亦即a 2-ab+b 2＞ab

由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a 2-ab+b 2)＞(a+b)ab

即a 3+b 3＞a 2b+ab 2，由此命题得证.