圆的标准方程PPT课件
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
圆的标准方程-PPT课件
初中学习的圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
·r
C
定点 定长
圆心 半径
在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？
探究新知 a、b、r 确定一个圆的方程.
问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合
y
P = { M | |MC| = r }
位置关系？ M
M
OM
O
O
|OM|< r
|OM|=r
点在圆内 点在圆上
|OM|> r 点在圆外
探究新知：点与圆的位置关系 测评P65：知识点三
测评P65：例3、活用3
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
M M
r | 3 4 3 7 | 16
3 16 5
小结
1.圆的标准方程（重点）
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系（难点)
3.求圆的标准方程的方法：（重点） ① 直接法（利用几何性质） ② 待定系数法
测评P64-65：例1、活用1、例2、活用2
活用2（1） ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
4.1.1《圆的标准方程》课件人教新课标
或OM0 MM0 0
过圆x2+y2=r2上一点M0(x0，y0)的切线方程
x0x+y0y=r2
练一练
1.写出过圆x2+y2=10上一点 M(2, 6)的 切线方程. 2.已知圆的方程是x2+y2=1,求斜率等 于1的圆的切线方程.
xy 2 0
课堂小结
圆 圆的标准方程 应用
形
数
求圆的方程 切线问题 位置关系
y
C
(x 1)2 ( y 3)2 256 O M
x
25
变式：求圆心在直线2x-y-3=0上，且过 点A(5,2),B(3,-2)的圆的标准方程.
方法一：设圆心为C(a,2a-3)，利用|CA|=|CB| 求得a=2，所以C(2,1),r=|CA|,从而求得圆的方 程.
方法二：圆心可以通过线
段AB的中垂线与已知直线
的距离不变，
y
探求:能否求出机器人运动的轨
迹方程？
O •C(5, 3) x
第四章 圆与方程 高一数学 必修2
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标：
1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程 ； 2.进一步培养同学们用解析法研究几何问题的能力 .
探索新知
根据圆的定义，我们来求圆心是 C(a，b),半径是r的圆的方程.
A
●
的交点来实现.
C
方法三：待定系数法.
2x-y-3=0 B
题型三：求圆的切线方程
例3.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆
上一点M0(x0，y0)的切线方程.
解法研究
y
M0(x0,y0)
1.用点斜式求解； o
过圆x2+y2=r2上一点M0(x0，y0)的切线方程
x0x+y0y=r2
练一练
1.写出过圆x2+y2=10上一点 M(2, 6)的 切线方程. 2.已知圆的方程是x2+y2=1,求斜率等 于1的圆的切线方程.
xy 2 0
课堂小结
圆 圆的标准方程 应用
形
数
求圆的方程 切线问题 位置关系
y
C
(x 1)2 ( y 3)2 256 O M
x
25
变式：求圆心在直线2x-y-3=0上，且过 点A(5,2),B(3,-2)的圆的标准方程.
方法一：设圆心为C(a,2a-3)，利用|CA|=|CB| 求得a=2，所以C(2,1),r=|CA|,从而求得圆的方 程.
方法二：圆心可以通过线
段AB的中垂线与已知直线
的距离不变，
y
探求:能否求出机器人运动的轨
迹方程？
O •C(5, 3) x
第四章 圆与方程 高一数学 必修2
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标：
1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程 ； 2.进一步培养同学们用解析法研究几何问题的能力 .
探索新知
根据圆的定义，我们来求圆心是 C(a，b),半径是r的圆的方程.
A
●
的交点来实现.
C
方法三：待定系数法.
2x-y-3=0 B
题型三：求圆的切线方程
例3.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆
上一点M0(x0，y0)的切线方程.
解法研究
y
M0(x0,y0)
1.用点斜式求解； o
2.4.1圆的标准方程课件(人教版)
[0,1) 范围是___________.
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
圆的标准方程ppt课件完整版x
圆的基本要素
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆的标准方程说课课件PPT谢春霞
例题2
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，直线$l$经过圆心 $O$且与圆交于两点$A$和$B$，求线段$AB$的中点坐标。
解析
根据直径对称性质，线段$AB$的中点即为圆心$O$，因此 中点坐标为$(0,0)$。
例题3
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，点$P(x_0,y_0)$在圆 上，将点$P$绕圆心$O$逆时针旋转$alpha$角度后得到点 $Q(x_1,y_1)$，求点$Q$的坐标。
CHAPTER
圆与直线位置关系判断
直线与圆相交条件
圆心到直线的距离小 于半径
直线与圆有两个交点
直线方程与圆方程联 立后有两个实数解
直线与圆相切条件
圆心到直线的距离等于半径 直线方程与圆方程联立后有一个重根
直线与圆有一个切点
直线与圆相离条件
圆心到直线的距离大于半径 直线方程与圆方程联立后无实数解
06
CHAPTER
课堂练习与课后作业布置
课堂练习题目选讲
题目一
已知圆的方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，求圆心坐标和半径。
题目二
已知圆心坐标和半径，写出圆的 标准方程。
题目三
判断点$P(x_0,y_0)$是否在圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$内。
课后作业题目安排
1 2
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母$O$表 示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母$r$表示。
直径
通过圆心且两端都在圆上 的线段，用字母$d$表示， 且$d = 2r$。
02
CHAPTER
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，直线$l$经过圆心 $O$且与圆交于两点$A$和$B$，求线段$AB$的中点坐标。
解析
根据直径对称性质，线段$AB$的中点即为圆心$O$，因此 中点坐标为$(0,0)$。
例题3
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，点$P(x_0,y_0)$在圆 上，将点$P$绕圆心$O$逆时针旋转$alpha$角度后得到点 $Q(x_1,y_1)$，求点$Q$的坐标。
CHAPTER
圆与直线位置关系判断
直线与圆相交条件
圆心到直线的距离小 于半径
直线与圆有两个交点
直线方程与圆方程联 立后有两个实数解
直线与圆相切条件
圆心到直线的距离等于半径 直线方程与圆方程联立后有一个重根
直线与圆有一个切点
直线与圆相离条件
圆心到直线的距离大于半径 直线方程与圆方程联立后无实数解
06
CHAPTER
课堂练习与课后作业布置
课堂练习题目选讲
题目一
已知圆的方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，求圆心坐标和半径。
题目二
已知圆心坐标和半径，写出圆的 标准方程。
题目三
判断点$P(x_0,y_0)$是否在圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$内。
课后作业题目安排
1 2
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母$O$表 示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母$r$表示。
直径
通过圆心且两端都在圆上 的线段，用字母$d$表示， 且$d = 2r$。
02
CHAPTER
选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程课件(人教版)
课本P84
4.已知△AOB的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB的外接圆
的标准方程.
y
解2：由△AOB是Rt△可知,△AOB的外接圆的直径就是斜边AB.
∴所求外接圆的圆心坐标为(2，3 )， 2
B(0,3)
•
半径为r
|
AB
|
5 .
22
•
∴AOB的外接圆的方程为( x 2)2 ( y 3)2 25 . 24
例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的
标准方程.
y
解1：(待定系数法) 设所求方程为( x a)2 ( y b)2 r 2,则有
(5 a)2 (1 b)2 r 2
(7
a)2
(2 (8 b)2 r 2
点M0 (x0 , y0 )在圆x2 + y2 = r 2 上 x02 y02 r 2 ； 点M0 (x0 , y0 )在圆x2 + y2 = r 2 内 x02 y02 r 2 ； 点M0 (x0 , y0 )在圆x2 + y2 = r 2 外 x02 y02 r 2 .
3. 以P1(x1, y1), P2(x2, y2) 为直径端点的圆的方程为 ( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0.
O
x
探究 若一个圆的圆心为A(a, b), 半径为r, 那么如何求此圆的方程 ?
设M(x, y)是圆上任意一点, 根据定义, 点M到圆心A的距
y
离等于r, 所以圆A就是集合
P＝{ M | |MA|＝r }.
由两点间的距离公式, 点M(x,y)满足的条件可表示
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练习1 点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的外部， 则实数m的取值范围是________．
[答案] (0,10)
[解析] 由题意，得(1＋2)2＋(－1)2>m，即m<10， 又m>0，∴m的取值范围是(0,10)．
●探索延拓 圆的标准方程的综合应用
例2： △ABC的三个顶点的坐标 分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求 △ABC的外接圆的标准方程.
(2)几何法．
通过研究已知条件，结合圆的几何性质， 求得圆的基本量(圆心坐标，半径长)，进而求 得方程．
圆的常用的几何性质：①圆的弦的垂直平 分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为 圆心；
当堂检测
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是( ) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) [答案] C
第四章 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1. 初步理解圆的标准方程，能根据圆 心、半径熟练写出圆的标准方程，并能 够根据圆的标准方程熟练求出其圆心坐 标和半径。
2. 学会判断点与圆的位置关系。
3. 会用待定系数法求圆的标准方程。
温故知新
一、什么是圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
3. △ABC的三个顶点的坐标是 A(4,0),B(0,3),C(0,0),求它的外接圆的标准方程.
小结
1.Байду номын сангаас的标准方程
圆心是（a，b），半径是r的圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
2.点与圆的位置关系
（1）点P在圆上 x0 a2 y0 b2 r2 （2）点P在圆内 x0 a2 y0 b2 r2 （3）点P在圆外 x0 a2 y0 b2 r2
y
L2
OR P
A(5,1) x
D B(7,-3)
L1
E
C(2,-8)
法：
规律总结：求圆的标准方程有以下两种方
(1)待定系数法． 由于圆的标准方程中含有a，b，r三个参数，必须具备三 个独立条件，才能求出一个圆的标准方程，用待定系数法求圆 的方程，即列出关于a，b，r的方程组，解方程组求a，b，r.一 般 步 骤 如 下 ： ① 设 出 所 求 的 圆 的 标 准 方 程 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解方程组时，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的 方程中，就得到所求圆的标准方程．
2.点与圆的位置关系 圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其 圆心为(a，b)，半径为 r，点 P(x0，y0)，设 d＝|PC|＝ x0－a2＋y0－b2.
d与r 位置关系
的大小 点在圆外
d>r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d<r
图示
点 P 的坐标的特点
(x0－a)2＋ (y0－b)2>r2 (x0－a)2＋ (y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋ (y0－b)2<r2
y
P={M||MC|=R}
M (x,y)
r
C (a,b)
O
x
二.圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
OC
x
圆的标准方 程
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
例1 写出圆心为(3,4)，半径为5的圆的 方程，并判定点A(0,0)，B(1,3)是否在这个 圆上．
课堂小结
1.坐标法 2.数形结合
作业 ：
课本121页 练习4
大本59页 思考题1
2．根据下列不同条件写出圆的标准方程 (1)圆心为(3，2)，半径为 2 的圆的标准方程为________． (2)圆心为(-2，3)，半径为 3 的圆的标准方程为________． (3)圆心为 C(-1,-2)，半径为 5的圆的标准方程为_______． (4)圆心为 C(1,-2)，半径为 5的圆的标准方程为_______．