自动控制原理课件

➢实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录 其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种 方法也称为系统辨识。
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第二章 控制系统的数学模型
数学模型的形式：
➢时间域： 微分方程(连续系统) 差分方程（离散系统） 状态方程（多变量系统）
➢复数域： 传递函数 结构图、信号流图
第二章 控制系统的数学模型
二、 拉氏变换的计 算
➢ 指数函数 ➢ 三角函数 ➢ 单位脉冲函数
L[eat ] 1 sa
L[sint] L[cost]
s2 s2
s 2 2
L[ (t)] 1
➢ 单位阶跃函数 ➢ 单位速度函数 ➢ 单位加速度函数 ➢ 幂函数
L[1(t)] 1
s
LL[[1t]t2 ]s12 2
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
,m
n
四、用拉氏变换求解线性定常微分方程
由象函数求原函数，对于简单的象函数，可直接利用拉氏变 换对照表查出相应的原函数，对于复杂的象函数，通常先用 部分分式展开法将复杂函数展开成简单函数的和，再应用拉 氏变换对照表。
LCs 2
1 RCs
1
2 传递函数的一般形式：
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
... an1
dc(t ) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
... bm1
d
r (t ) dt
bmr(t)
定量：要求用数学方法描述系统及系统中各 环节变量间的内在关系及其变化规律，即数 学模型。
控制系统本质上是动态的。因此描述系统行 为的方程通常是微分方程。
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第二章 控制系统的数学模型
数学模型：描述系统内部物理量之间关系的 数学表达式。
建立数学模型的方法：
➢分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根 据它们所遵循的物理或化学规律列写出相应的运动 方程。
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第二章 控制系统的数学模型
第二节 物理系统的微分方程
1 建立微分方程
根据系统所遵循的物理规律，写出其运动方 程。
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律
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第二章 控制系统的数学模型
例2.1 弹簧、质量块和阻尼器组成的机械位移系统
作业3
E2.4, E2.21, E2.18
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第二章 控制系统的数学模型
第三节 线性系统的传递函数
微分方程数学模型的特点：
优点：
➢直观；
➢借助计算机可以迅速而准确地求得结果。
缺点：
➢如果系统的结构或参数发生变化时，就要重新列写
并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。
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F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
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第二章 控制系统的数学模型
拉氏反变换的定义
f (t) L1[F (s)] 1
j
F
(s)e
st
ds
,t 0
2j j
其中L－1为拉氏反变换的符号。
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第二章 控制系统的数学模型
2 线性定常微分方程的求解 微分方程求解的方法：
➢经典法 ➢LAPLACE变换法 ➢计算机数值解法
这里只研究用LAPLACE变换法求解微分方程的方法 ，为今后引出传递函数概念奠定基础。
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第二章 控制系统的数学模型
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第二章 控制系统的数学模型
传递函数:是在复数域描述系统动态性能的数学 模型。
传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且 可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性 能的影响。
传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的 概念，广泛应用的频率法和根轨迹法就是以传 递函数为基础建立起来的。
➢传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量
之间关系的表达式，系统输入量与输出量的因果关
系可以用传递函数联系起来。因此，常用下述方框
图表示具有传递函数G(s)的线性系统：
R(s)
G(s)
C(s)
➢传递函数的拉氏反变换是脉冲响应，脉冲响应是 系统在单位脉冲(t)输入时的输出响应；
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R
L
ur(t)
i(t) C uc(t)
解: 1.明确输入量、输出量：系统的输入量为 电压 u，c (t输) 出量为电压 。ur (t)
2.根据电路理论,列出原始微分方程式：
ur
(t)
L
Hale Waihona Puke di(t) dt1 C
i(t)dt
Ri(t)
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第二章 控制系统的数学模型
而 中间uc (变t) 量 C1。，i(式t)d中t 为网i络(t)电流，是除输入量、输出量之外的
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第二章 控制系统的数学模型
1 传递函数的定义和性质
传递函数的定义：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换
与输入量的拉氏变换之比。
G(s) L[c(t)] C(s) L[r(t)] R(s)
例2.4 试求例2.2RLC无源网络的传递函数。
解：RLC无源网络的微分方程为：
b1sm1 a1sn1
... bm1s ... an1s
bm an
3 传递函数的性质：
➢传递函数是s的有理真分式函数，mn,具有复变 函数的所有性质；
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第二章 控制系统的数学模型
➢传递函数与微分方程有相通性，传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完 全取决于系统结构和参数，与输入量的形式无关；
F (s) B(s) K (s z1 )( s z2 )...( s zm ) A(s) (s p1 )( s p2 )...( s pn )
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第二章 控制系统的数学模型
特别当A(s)=0无重根时,F(s)可展开为n个简 单的部分分式之和，即：
n
F(s)
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc (t)
ur
(t)
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第二章 控制系统的数学模型
在零初始条件下对方程各项求拉氏变换，可得：
(LCs 2 RCs 1)Uc (s) Ur (s)
由传递函数定义，可得RLC网络的传递函数：
G(s)
Uc (s) Ur (s)
K
f(t)
M
x(t)
B
系统示意图
f2(t) f(t)
M x(t)
f1(t)
系统受力分析图
其中：
f (t) : 外力
x(t) : 位移
M : 质量
f1 (t )
B
dx dt
:阻尼力
f2 (t) Kx(t) : 弹力
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第二章 控制系统的数学模型
选定外力f为系统输入量，位移x为系统输出量。
ci
i1 s pi
那么可求得原函数：
f (t)
L1[F (s)]
L1
n
i1
s
ci pi
n
cie pit
i 1
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第二章 控制系统的数学模型
用拉氏变换求解线性定常微分方程的步骤：
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；
➢解代数方程，得到象函数的拉氏变换表达式；
snF(s)
s n1
f
(0)
sn2
f
(0)
f
(n1) (0)
当初始条件：f (0) f (0) 0 时， 则：
L[ d
n f (t ) dt n ]
sn F (s)
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第二章 控制系统的数学模型
一般，象函数是复变数s的有理代数分式：
F (s)
B(s) A(s)
1 s3
L[t n ]
n! s n1
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第二章 控制系统的数学模型
三、 拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理
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第二章 控制系统的数学模型
n阶导数的拉氏变换：
d n f (t) L[ dtn ]
➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
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第二章 控制系统的数学模型
例2.3：求线性微分方程 d 2
始条件为： y (0)
y(0)
dt
2
y
2
5 dy dt
6y
6
的解，初
解：1）方程两边拉氏变换得：
s2Y (s) sy(0) y(0) 5sY (s) 5y(0) 6Y (s) 6 s
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第二章 控制系统的数学模型
初始条件为零时，对微分方程各项分别求拉氏变换，可得：
(a0sn a1sn1 ... an1s an )C(s) (b0sm b1sm1 ... bm1s bm )R(s)
由定义得系统的传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
根据牛顿第二定律，写出系统运动方程：
f
(t)
f1(t)
f2 (t)
M
d 2 x(t) dt 2
整理后得到系统运动方程：
d2 x(t) dx(t) M dt 2 B dt Kx(t) f (t)
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第二章 控制系统的数学模型
建立微分方程的步骤:
➢ 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用， 确定其输入量和输出量；
一、 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1）f(t)实函数；
2）当t<0时 ， f(t)=0；
3）当t0时，f(t)的积分
f (t)est dt 在s的某一域内收敛
0
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；
第二章 控制系统的数学模型
本章主要内容
2.1 概述 2.2 物理系统的微分方程 2.3 线性系统的传递函数 2.4 框图模型 2.5 信号流图模型 2.6 反馈控制系统的特性 2.7 应用MATLAB进行系统仿真 2.8 设计举例
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第二章 控制系统的数学模型
第一节 概述
自动控制系统是一种严格定量的动态运行的 信息系统。
dn
d n1
d
a0 dt n c(t) a1 dt n1 c(t) an1 dt c(t) anc(t)
b0
d dt m
m
r (t )
b1
d dt m1
m1
r (t )
bm1
d dt
r (t )
bm r (t )
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第二章 控制系统的数学模型
例2.2 列写出下列RLC无源网络的微分方程
➢频率域： 频率特性
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第二章 控制系统的数学模型
建立数学模型的目的：分析和设计控制系统。
研究系统动态特性的一般步骤：
• 确定系统及其各元件； • 作出必要的假设并推导数学模型； • 写出描述该模型的微分方程； • 解方程求出需要的输出变量； • 检查得到的解和假设条件。
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3.消去中间变量,整理得：
LC
d 2uc (t ) dt 2
RC
duc (t) dt
uc (t)
ur (t)
这就是RLC无源网络的微分方程数学模型。
与例2.1的微分方程相比较：
M
d 2 x(t) dt 2
B
dx(t ) dt
Kx(t )
f (t)
这两个式子很相似，是两个相似系统，故可用电子线路来模拟 机械平移系统，这也说明了我们前面讲到的，看似完全不同的 系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。
第二章 控制系统的数学模型
➢适用于线性定常系统 ➢只适合于单输入单输出系统的描述 ➢无法描述系统内部中间变量的变化情况
➢传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件 下的全部运动规律
➢一定的传递函数有一定的零极点分布图对应
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第二章 控制系统的数学模型
4 传递函数的零点和极点： G(s) b0 (s z1)(s z2 )...( s zm ) a0 (s p1)(s p2 )...( s pn )
代入初始条件得：Y (s)
2s2 12 s 6 s(s2 5s 6)
2s2 12 s 6 s(s 2)(s 3)
2）部分分式展开得： Y (s) 1 4 5
s s3 s2
3）拉氏反变换得： y(t) 1 4e3t 5e2t (t 0)
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第二章 控制系统的数学模型
➢分析元件工作中所遵循的机理，列写相应的微分 方程；
➢消去中间变量，得到输入量与输出量之间的微分 方程；
➢写成标准形式。
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第二章 控制系统的数学模型
微分方程标准形式：
与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有 关的各项写在方程的左边，方程两边变量的各导数 项均按降幂排列。