2019-2020年人教统编5-1定积分的概念课件

n
i [xi , xi1] , 只要 x max {xi} 0时
1i n
f (i ) xi
i1
总趋于确定的极限 I , 则称此极限值 I 为函数 f (x) 在区间
[a , b]上的定积分, 记作
b
f (x)dx
即
b
f (x) dx lim
a
n
f (i ) xi
将 [a, b]分 成 n 个小区间[xi1, xi ] (i 1,2,, n). 用xi xi xi1 表示第 i 个小区间的长度 .
第二步：近似代替
i [xi1, xi ], 则
小曲边梯形面积 : Si f (i )xi . Si 与i 的选择有关 .
所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
通常人们把这类方法所 处理的问题的结果，即
这种极限值，称为函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分.
二、定积分定义
设函数 f (x)定义在[a,b]上, 若对[a , b]的 任一种分法
a x0 x1 x2 xn b , 令 x i xi xi1 , 任取

O a x1
xi1 xi
b
x
第四步：取极限 令 x max{xi} (i 1,2,n), 则
n
曲边梯形面积 : S lim f (i )xi . x0 i 1
极限存在与否，与分法 T 及点i 的选择无关.
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t) 且 v(t) 0,
在一般情形下，定积分 b f(x )d， 的x 几何意义为： a
它是介于x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb之间的各部 分面积的代数和．
a
y y = f(x)

O
bx
例1. 利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
y
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi

i n

(i
(2) 定积分与积分变量的记号无关：
b f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t)d t .
a
a
a
定积分的几何意义：
在区间[a，b]上，当f(x)0时，积分
b f(x )d， x
a
在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的 曲边梯形的面积；
o
a
x0 i 1
a
x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
i
xi1 xi b x
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
lim f
x0 i1
(i ) xi
积分下限
积分和
积分变量 被积表达式 被积函数
n
曲边梯形面积 : S lim f (i )xi x0 i 1
f
(i
)]xi
Βιβλιοθήκη Baidu
Oa
n
l 0 i i 1 m f(i) x i．
b f(x )d．， x a
b
S a[ f (x)]dx
bx
b f(x )d， x S
a
y = f(x)
我们对面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号．
第五章 定积分
不定积分 积分学
定积分
第一节 定积分的概念
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
第五章
一、定积分问题举例
矩形面积 a h 梯形面积 h (a b)
2
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
y f (x) ( f (x) 0) 及 x 轴，以及两直线 x a , x b
b a
f
(
x)
dx
n
变速直线运动路程： S lim v(i ) ti t 0 i 1
v(t) dt
关于定积分定义的几点说明

(1) 定积分 b f (x)d x 是一个极限值(具体的数), a 它与分法 T 及点i 的选择无关, 只与f (x) 及
区间[a, b] 有关.
y y = f(x)
Oa
b
a f(x )d， x
bx
当f(x)0时，由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围
成的曲边梯形位于x 轴的下方，

定积分在几何上表示上述曲线
y
边梯形面积的负值：
y = f(x)
b
S a[ f (x)]dx
n

lim
0
i1
[
xi1
i xi
对每个小曲边梯形均作上述的代替
y y f (x)

如何求精确值？
极限过程是什么？
O a x1
xi1 xi
b
x
第三步：求和
n
n
曲边梯形面积 : S Si f (i )xi .
i1
i1
S 与分法 T 及点i 的选择有关.
y y f (x)
所围成 , 求其面积 S .
h a
a
b
h
y f (x)
S?
y y f (x)

设 f (x) 0,
f (x)在[a,b]上连续
O a x1
xi1 xi
b
x
第一步：分割 任意引入分点 称为区间的一个分法 T
a x0 x1 xi1 xi xn1 xn b ,

0,1,, n)
取
i

i n
,
xi

1 n
(i 1, 2,, n)
y x2
n

i1
f
(i
)xi
1 n3
si v(i )ti (i 1, 2,, n)
3) 求和
n
S v(i ) ti
i1
4) 取极限
n
S lim v(i ) ti t 0 i 1
(t max ti )
1 i n
上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :
分割 — 近似代替 — 求和 — 取极限
求在运动时间 [, ] 内物体所经过的路程 S . 解决步骤:
1) 分割 在 [ , ]中任意插入 n 1个分点 , 将它分成
n 个小段 [ti1 ,t i ] (i 1, 2,, n), 在每个小段上物体经 过的路程为 s i (i 1, 2,, n)
2) 近似代替 任取i [ti1 , ti ] , 以v(i ) 代替变速 , 得