矩形波导中电磁波截止波长的计算(1)(1)

矩形波导中电磁波截止波长的计算
周和伟
物理与电子信息工程学院07物理学07234030
[摘要]:本文从麦克斯韦方程组出发，从理论上推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，截止波长大多属于厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。

[关键词]:矩形波导电磁波截止波长
1 绪言
波导是一种用来约束或引导电磁波传输的装置，矩形波导是指横截面是矩形的波导，一般是中空的金属管。

也有其他形式的波导装置，如介质棒或由导电材料和介质材料组成的混合构件[1]。

因此，在广义的定义下，波导不仅是指矩形中空金属管，同时也包括其他波导形式如矩形介质波导等，还包括双导线、同轴线、带状线、微带和镜像线、单根表面波传输线等。

根据波导横截面的形状不同还有其他形状波导，如圆波导等。

尽管已存在很多不同波导形式，且新的形式还不断出现，但直到目前，在实际应用中矩形波导是一种最主要的波导形式。

由于无线信号传输媒介，具有传输频带宽、传输损耗小、可靠性高、抗干扰能力强等特点，因此波导技术在电子技术领域运用非常广泛，主要用于铁氧体结环形器，窄壁缝隙天线阵[2]，速调管矩形波导窗，高精度矩形弯铜波导管加工研究【3】等器件设备的制造生产，以及在地铁信号系统中的应用都很广泛。

为了加深对波导传输特性的理解，本文从麦克斯韦方程组出发，推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，发现其截止波长都在厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。

2 电磁波基本原理
2.1建立麦克斯韦方程组的历史背景
麦克斯韦首先从论述力线着手，初步建立起电与磁之间的基本关系。

1855年，他发表了第一篇电磁学论文《论法拉第的力线》。

在这篇论文中，用数学语言表述了法拉第
的电紧张态和力线概念，引进感生电场概念，推导出了感生电场与变化磁场之间的关系。

1862年他发表了第二篇论文《论物理力线》，不但进一步发展了法拉第的思想，扩充到磁场变化产生电场，而且得到了新的结果：电场变化产生磁场。

因此预言了电磁波的存在，并且证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。

1864年他的第三篇论文《纯磁场的动力学理论》，这篇文章包括了麦克斯韦电磁理论研究的主要成果，麦克斯韦主要从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，引进了位移电流概念，按照电磁学的基本原理推导出全电流定理，最后建立起电磁场的基本方程。

麦克斯韦在总结库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果的基础上。

结合自己提出的涡旋电场和位移电流的概念，建立了第一个完整的电磁理论体系。

这个重要的研究结果以论文的形式发表在1865年的英国皇家学会的会报上。

论文中列出了最初形式的方程组，由20个等式和20个变量组成，其中包括麦克斯韦方程组的分量形式。

2.2 麦克斯韦方程组
2.2.1 涡旋电场假说、位移电流假说
一个闭合回路固定在变化的磁场中，则穿过闭合回路的磁通量就要发生变化。

根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中要产生感应电动势。

因而在闭合回路中，必定存在一种非静电性电场。

麦克斯韦对这种情况的电磁感应现象作出如下假设：任何变化的磁场在它周围空间里都要产生一种非静电性的电场，叫做感生电场，感生电场的场强用符号E 表示。

感生电场与静电场有相同处也有不同处。

它们相同处就是对场中的电荷都施以力的作用。

而不同处是[4]：(1)激发的原因不同，静电场是由静电荷激发的，而感生电场则是由变化磁场所激发：(2)静电场的电场线起源于正电荷，终止于负电荷，静电场是势场，而感生电场的电场线则是闭合的，其方向与变化磁场的关系满足左旋法则，因此感生电场不是势场而是涡旋场。

正是由于涡旋电场的存在，才在闭合回路中产生感生电动势，其大小等于把单位正电荷沿任意闭合回路移动一周时，感生电场i E 所作的功表示为： ⎰=-=Edl dl
d E m l φ (2.1) 应当指出：法拉第建立的电磁感应定律，只适用于由导体构成的回路，而根据麦克斯韦
关于感生电场的假设，电磁感应定律有更深刻的意义，即不管有无导体构成闭合回路，也不管回路是在真空中还是在介质中，式(2.1)都是适用的。

如果有闭合的导体回路放人该感生电场中，感生电场就迫使导体中自由电荷作宏观运动，从而显示出感生电流；如果导体回路不存在，只不过没有感生电流而已，但感生电场还是存在的。

从式(2.1)还可看出：感生电场E 的环流一般不为零，所以感生电场是涡旋场。

位移电流概念是麦克斯韦在建立电磁场理论过程巾提出的重要假设。

它表明，磁砀不仅可以由电流产生，变化的电场也可以产生磁场。

位移电流和有旋电场的概念从两个方面深刻而完整地揭示了电场和磁场之间的内在联系和相互依存，即电磁场是统一的不可分割的整体。

传导电流和位移电流都能产生磁场，两种磁场都能对其中的电流或运动电荷施加磁力，两种磁场的性质也相同，即都是有旋无源的。

但是，两种磁场也有区别，除了产生原因不同外，由于位移电流并不表示电荷在空间的运动，所以它与传导电流不同，没有热效应和化学效应，只有磁效应。

空间的总磁场是传导电流和位移电流产生的磁场之和，是无源有旋的矢量场，其磁力线闭合。

位移电流假设的提出，消除了把安培环路定理从恒定情形推广到变化情形时遇到的矛盾和困难，使麦克斯韦得以建立完备的电磁场方程组。

麦克斯韦方程组关于电磁波等理论预言实验的证实，不仅具有深刻的理论意义和巨大的应用价值，也证明了位移电流假设的正确性。

2.2.2 麦克斯韦方程组的简易推导
(1)麦克斯韦方程组的积分形式[5]
在电磁学中我们知道，一个电荷q 发出的电通量总是正比于q ，与附近有没有其他电荷存在无关。

由库仑定律可以推出关于电通量的高斯定理：
εq s d E s =⋅⎰ (2.2) 因静电场的电场线分布没有旋涡状结构，因而可推导静电场是无旋的。

1831年法拉第发现当磁场发生变化时，附近闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，可表示为：
S d B dt
d s ⋅-=⎰ε (2.3) 感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁应定律可写为：
S d B dt
d l d E s ⋅-=⋅⎰⎰ (2.4) 若回路L 是空间中的一条固定回路，则(2.4)式中对t 的全微分可代为偏微分：
S d t B l d E s ⋅∂∂-=⋅⎰⎰ (2.5)
下面研究电流和磁场的相互作用。

实验指出，一个电流元历在磁场中所受的力可以表为：
B l Id F d ⨯= (2.6)
恒定电流激发磁场的规律由毕奥一萨伐尔定律给出。

设()
'x J 为源点'x 上的电流密度，'r 为由'x 到场点x 的距离，则场点上的磁感应强度为：
()()
'3'0
4dr r r x J u x B ⎰⨯= π (2.7) 试（2.7）中的0u 为真空磁导率，积分遍及电流分布区域。

细导线上恒定电流激发磁场的毕奥一萨伐尔定律写为：
()⎰=34r l Id u x B o
π (2.8)
根据安培环路定律，对于连续电流分布j ，在计算磁场沿回路l 的环量时，只需考虑通过以l 为边界的曲面的电流，在s 以外流过的电流没有贡献。

因此，环路定律表为：
s d j u l d B s o l ⋅=⋅⎰⎰ (2.9)
上面研究了变化磁场激发电场，由麦克斯韦位移电流假设的结论变化电场激发磁场可推广得：
s d t E j u l d B o s o ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+=⋅⎰⎰ε (2.10) 由电磁学的知识，我们知道由电流激发的磁感应线总是闭和曲线，因此，磁感应强度雪
是无源场，表示B 无源性的积分形式是雪对任何闭和曲面的总通量为零，即利用磁场高
斯定理得：
o s d B s =⋅⎰ (2.11)
由上得出麦克斯韦方程组的积分形式：
εq s d E s =⋅⎰ S d t B l d E s l ⋅∂∂-=⋅⎰⎰
o s d B s =⋅⎰
s d t E j u l d B o s o l ⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰ε (2.12) （2）麦克斯韦方程组的微分形式【7】
由麦克斯韦方程组的积分形式和数学公式：
()
V d A S d A v s ⋅∇=⋅⎰⎰ ()S d A l d A s l ⨯∇=⋅⎰⎰ (2.13)
推导出微分形式如下：
o
E ερ=⋅∇ t
B E ∂∂-=⨯∇ 0=⋅∇B
t
E u j u B o o o ∂∂+=⨯∇ ε (2.14) 2.2.3 麦克斯韦方程组的意义
麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了电磁场的内部的作用和运动。

不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以相互激发。

因此只要某处发生电磁扰动。

由于电磁场相互激发，它就在空间中运动传播，形成电磁波。

麦克斯韦首先从这个方程组在理论上预言了电磁波的存在，并且指出光波就是一种电磁波【10】。

麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在，这样就加深了我们对电磁场物质性的认识。

2.3 从麦克斯韦方程组出发推导电磁波的波动方程
2.3.1 电磁波波动方程
一般情况下，电磁波的基本方程是麦克斯韦方程组[5]:
t
B E ∂∂-=⨯∇ J t
D H +∂∂=⨯∇ ρ=⋅∇D
0=⋅∇B (2.15)
现在我们在研究在没有电荷电流分布的自由空间或均匀的绝缘介质中的电磁场运动形式。

在自由空间中，电磁和磁场互相激发，电磁场的运动规律是齐次得到麦克斯韦方程组:
t
B E ∂∂-=⨯∇ t
D H ∂∂=⨯∇ 0=⋅∇D
0=⋅∇B (2.16)
先讨论真空情形。

在真空中，E D 0ε= ，H B 0μ=。

取( 2.16 )第一式子的旋度并利用
第二式得：
()
2200t E B t E ∂∂-=⨯∇∂∂-=⨯∇⨯∇ εμ (2.17) 用矢量分析公式及0=⋅∇E 得
E E E E 22)()(-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇
代入（2.17）式得电场E 的偏微分方程：
022002=∂∂-∇t
E E εμ (2.18) 在方程组(2.16)式子中消去电场，可以得到磁场B 的偏微分方程:
022002=∂∂-∇t
B B εμ (2.19) 令 001εμ=
c (2.20)
则E 和B 的方程可以写为
012222=∂∂-∇t
E c E 012222=∂∂-∇t B c B (2.21) 形式如（2.21）的方程称为波动方程
2.4 时谐电磁波的波动方程
在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以相同的频率作正弦振荡，这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波【8】。

下面就只讨论一定频率的电磁波，设角频率为ω，电磁场对时间的依赖关系是t ωcos ,或用复数形式表示为
t e x E t x E ω-=)(),(
t e x B t x B ω-=)(),( (2.22)
我们研究时谐情形下的麦氏方程组，在一定频率下对线性均匀介质有
E D ε= ， H B μ= 把（2.22）式子(2.16)式，得
H i E ωμ=⨯∇
E i H ωμ-=⨯∇
0=⋅∇E
0=⋅∇H (2.23)
在0≠ω的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。

由于0)(=⨯∇⨯∇E ，因而
0=⋅∇H ，取（2.23）第一式旋度并用第二式的
E E μεω2)(=⨯∇⨯∇
由()
E E E E 22)(-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ ，上式子变为 022
=+∇E E κ μεωκ=
加上式子 0=⋅∇E 得到时谐电磁波方程
E i E i B ⨯∇-=⨯∇-=μεκω (2.24)
3 矩形波导中的电磁波的求解
图3-1是矩形波导的结构示意图，波导四壁由良导体构成，其截面长为a ，宽为b 。

现在求矩形波导内的电磁波解，选择一直角坐标系，取波导内壁面为0=x 和a ，0=y 和 b ；
图 3-1 矩形波导结构
z 轴沿传播方向，在一定频率下，管内时谐电磁波遵循亥姆霍兹方程：
022
=+∇E E κ μεωκ= (3.1)
满足条件0=⋅∇E 的解 ，此解在管壁上还需要满足边界条件0=⨯E e n 及电场在管壁上
的切向分量为0，由于电磁波沿z 轴方向传播，它应有传播因子t i z i z e ωκ-，因此，我们把
电场E 取为
z ik z e y x E z y x E ),(),,( = (3.2)
代入（3.1）式得
0),()(),()(222222=++∂∂+∂∂y x E k k y x E y
x z (3.3) 用直角坐标分离变量，设()y x ,μ 为电磁波的任一直角分量，它满足方程（3.3）,设())()(,y Y x X y x
=μ 则上式可分解为两个方程：
0222=+X k dx X d x 0222
=+Y k dy Y d y 2222k k k k z y x =++ (3.4)
解（3.4）式，得()y x ,μ的特解
())sin cos )(sin cos (,2211y k D y k C x k D x k C y x y y x x ++=μ (3.5)
22,11,,D C D C 是任意常数，()y x ,μ具体表示E 的某特定分量时，考虑边界0=⨯E e n 和
0=∂∂n
E n 还可以得到对这些常数的一些限制条件。

),0(,0,0a x z
E E E x z y ==∂∂== ),0(,0,
0b y y E E E y
z x ==∂∂== 由0=x 和0=y 面上的边界条件可得
z ik y x x zz ye k x k A E sin cos 1=
z ik y x y zz ye k x k A E cos sin 2=
z ik y x z zz ye k x k A E sin sin 3= (3.6)
再考虑b y a x ==,面上的边界条件，得b k a k y x ,必须为π的整数倍，即b
n k a m k y x ππ==
, （.....2,1,0,=n m ） m 和n 分别代表沿矩形两边的半波数目。

对解（3.6）式还必须加上条件0=⋅∇E ，由此条件得 0321=++A ik A k A k z y x (3.7)
因此，在321,,A A A 中只有两个是独立的，对于每一组（n m ,）值，有两种独立波模。

E
的解出后，磁场H 由式子E i E i B ⨯∇-=⨯∇-=μεκω 给出
E i H ⨯∇-=ωμ
(3.8) 由（3.7）式，对一定的(m, n)如果选一种波模具有0=z E ，则该波模的x y k k A A //21-=就完全确定，因而另一种波模必须有0≠z E ，由（3.8）式可看出，对0=z E 的波模，
0≠z H 。

因此，在波导内传播的波由如下特点：电场E 和磁场H 不能同时为横波。

通
常选一种波模为0=z E 的波，称横电波（TE ）,另一种波模为0=z H 称横电波（TM ）.TE 波和TM 波又按（m, n ）值的不同而分为mn TE 和mn TM 波，一般情形下，在波导中可以存在这些波的叠加。

4 截止波长的推算
4.1 截止波长公式的理论推导
在（3.7）式0321=++A ik A k A k z y x 中，k 为介质内的波数，它由激发频率ω确定；x k 和y k 由b
n k a m k y x ππ==,式确定，它们决定于管截面的几何尺寸以及波模的（m ,n ）数。

若激发频率降低到22y x k k k +<，则变为虚数，这时传播因子z ik z e 变为衰减因子[9]。

在这种情形下，电磁场不在是沿波导传播的波，而是沿z 轴方向振幅不断衰减的电场振
荡。

能够在波导内传播的波的最低频率c ω称为该波模的截止频率。

由
0321=++A ik A k A k z y x 和b
n k a m k y x π
π=
=
, （.....2,1,0,=n m ） (n m ,)型的截止角频率为
22,)()(b n
a m mn c +=
με
πω (4.1) 由με
1
=
c ，πω
2=
f ，22,)()(b n a m mn c +=με
πω，f c =λ
， 得： 22)()(2b
n
a m +=
λ (4.2)
若b a >，则10TE 波有最低截止频率
με
ωπa c 21
2110,= (4.3) 若管内为真空，此最低截止频率为c/2a 相应的截止波长为
a c 210,=λ (4.4) 4.2矩形波导管截止波长的数值计算
上一节得到了电磁波在矩形波导中传播的截止波长，为了加深对矩形波导管截止波长的理解，我们利用（4.2）式实际计算了几种不同几何尺寸的矩形波导管的较低阶模式的截止波长，计算结果如表（4.1）、（4.2）、（4.3）所示。

表（4.1）cm cm b a 32⨯=⨯
表（4.2）cm cm b a 42⨯=⨯
表（4.2）cm cm b a 52⨯=⨯
表（4.1）是 横截面尺寸为cm cm b a 32⨯=⨯的矩形波导管的110110TE TE TE 和、三种模式的截止波长，从表中可看出随模序数的增加，截止波长减小，能够在该波导管中传输的最长波长是01TE 模，其截止波长为cm 6；表（4.2）是 横截面尺寸为cm cm b a 42⨯=⨯的矩形波导管的110110TE TE TE 和、三种模式的截止波长，
从表中可看出随模序数的增加，截止波长减小，能够在该波导管中传输的最长波长是01TE 模，其截止波长为cm 8；表（4.3）是 横截面尺寸为cm cm b a 52⨯=⨯的矩形波导管的
110110TE TE TE 和、三种模式的截止波长，从表中可看出随模序数的增加，截止波长也减
小，能够在该波导管中传输的最长波长是01TE 模，其截止波长为cm 10。

5 结论
通过对在矩形波导中传播的电磁波的求解，可以知道电磁波在矩形波导中传播存在一个截止波长，并且波长较短，大都属于厘米量级波——微波，也就是存在一个截止频率，所以波导管相当于一个高通滤波器，频率比截止频率低的电磁波不能在波导管中传输，只有频率比截止频率高的电磁波才能在波导管中传输。

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Rectangular waveguide calculation of electromagnetic cutoff wavelength
Zhou Hewei
Department of Physics and Electronic Information Science
Education Physics Major 07234030
[Abstract] :This paper, starting from maxwell's equations is derived the wave equation and electromagnetic follow when the electromagnetic wave equation following harmony; According to the boundary value relation from theory and from the electromagnetic field in a rectangular waveguide when the harmony of the rectangular wave solution, and spread of the electromagnetic wave solutions are discussed; Calculated the different sizes of rectangular wave wave the cutoff wavelength, explain only applies to spread microwave.
[Key words] : A rectangular waveguide, electromagnetic wave, cutoff wavelength。