定积分的概念与性质ppt课件

积 函
分积 变表
数 量达
式
.
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定积分的概念与性质
注 n
(1)S f(i)xi是[a与 ,b]的分[法 xi1,x 及 i] 在
i1
上i取法有关;
n
Il i0m i1f(i)xi是[a与 ,b]的分[法 xi1,x 及 i] 在
上i取法无关.
(2)
b
f (x)dx
b f (t)dt
b f (u)du
把区间[a,b]分成n个小区间, 各小区间长度依次为 (2)
x i x i x i 1 ,(i 1 ,2 , ,n )在,各小区间上任取
一点 i(i xi),作乘积 f(i) xi(i1 ,2 , ,n )
(3)
n
并作和 S f(i )xi
(4)
i1
记 m a x 1 , x x 2 , {, x n }如,果不论对 [a,b]
第五章 定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 — 一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
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基本要求
理解定积分的定义和性质,微积分基 本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积 分表达一些几何量与物理量(如面积、体 积、弧长、功、引力等）的方法.
显然,小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边 梯形面积．
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定积分的概念与性质
采取下列四个步骤来求面积A.
(1) 分割 任意用分点
Ai表示[xi1, xi ]上对应
a x 0 x 1 x 2 的 窄 曲x n 边 1 梯x 形n 的b , 面积
把区 [a,b]间 分n 成 个 y 小区 [xi间 1,xi]， 长度为
.
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定积分的概念与性质
思想 以不变代变
2.求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 vv(t)
是时间间隔 [T1,T2]上t的一个连续函数,且v(t)0,
求物体在这段时间内所经过的路程.
思路 把整段时间分割成若干小段, 每小段上
速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便 得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值．
当函数 f(x)在区 [a,间 b]上 的定积分存在时, 称 f(x)在区 [a,b间 ]上 可积.或 黎曼可积,记为
fR[a,b]. 黎曼 德国数学家(1826–1866)
a
a
a
定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数
的结构和上、下限, 而与积分变量的记号无关.
今后将经常利用定积分与变量记号无关性
进行推理.
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定积分的概念与性质
三、定积分的几何意义和物理意义
1. 几何意义
f(x)0, b f(x)dxA 曲边梯形的面积 a
f(x)0, b f(x)dxA曲边梯形的面积
y f(x)
x ix ix i 1;
(2) 取近似
Ai
在每个小[x区 i1,间 xi] O ax 1
xi1 i x i xn1 b x
上任取一i点 ， 以[xi1,xi ]为底f， (i )为高的小矩形,
面积近似代替 A i , 有 A i f(i) x i,i 1 ,2 ,L n
.
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定积分的概念与性质
1.曲边梯形的面积 求由连续曲线yf(x)0及y
直 x 线 a,xb 和 y0所围成
y f(x)
的 曲 边 梯 形 的 面 积A.
A?
Oa
bx
.
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定积分的概念与性质
f(x)h(常)数 时 ,矩形面积 A(公 ba)式 h 为
思想 以直代曲
用矩形面积 近似取代曲边梯形面积
y
y
O （五个小矩形） x O （十个小矩形） x
a
y
的负值
f (x)
A1
A3
a
A2 O
bx
b
a
f (x)dx
A1
A2
.
A3
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定积分的概念与性质
b f (x)dx几何意义 a 它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条
直线 x =a, x = b之间的 各部分面积的代数和.
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
y f (x)
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)ti
.
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定积分的概念与性质
上两例共同点:
二、定积分的定义21))
量具有可加性, 方法(1)一样;
II;
定义 设函数f (x)在[a,b]上3有) 结界果,在形[a式,b]一中样任.意插入
若干个分点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
(3) 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形
面积A的近似值.
n
A f (i )xi
i 1
(4) 求极限 为了得到A的精确值, 分割无限加细,
即小区间的 m最 axx 1大 , {x2, 长 xn度 } 趋近(于 0零 )时取， 极限, 极限值就是曲边梯
形的面积:
n
Alim 0i1
f(i)xi
a
O b x
.
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定积分的概念与性质
例 求1 1x2dx 0
解 1 1x2dx
0
4
y 1 y 1 x2
o
1
x
2. 物理意义
当v(t)0时, 定积分
b
a v(t
)dt
表示以变速
v v(t)作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
t = b所经过的路程 s.
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定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
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定积分的概念与性质
怎样的分法, 也不论在小区间[xi1, xi ]上点 i
怎样的取法, 只要当 0时,和S总趋于确定的
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为
积分上限
积分和
b
n
af(x)dxIl i0m i1f(i) xi
积分下限 被 积 被
[a,b]积分区间
.
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定积分的概念与性质
(1) 分割 T 1 t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2
ti titi1
si 表示在时间区间 [ti1,ti]内走过的路程.
(2) 取近似 siv(i) ti (i1,2,n)
某时刻的速度
n
(3) 求和 s v(i )ti
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(4) 取极限 m t1 ,a t2 , x , tn } { 令0
第五章. 定积分
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第一节 定积分的概念与性质
definite integral
定积分问题举例 * 定积分的定义 * 定积分的几何意义和物理意义
关于函数的可积性 * 定积分的性质
小结 思考题 作业
定 .积 分
3
定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
定积分概念也是由大量的实际问题 抽象出来的, 现举两例.