正多面体及其自同构群

正多面体及其自同构群
本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。

标签：正多面体；自同构群；对称
一、前言
群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。

因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。

从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。

我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。

1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。

2.正多面体的诸多面角也彼此全等。

3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。

4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。

容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。

5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。

而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。

二、定理
设A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。

记Aut（x）为X的旋转变换群。

这样我们就有以下结果：
1.Aut（A）= Alt（4），即四次交错群；
2.Aut（B）= Sym（4），即四次对称群；
3.Aut（C）= Sym（4），即四次对称群；
4.Aut（D）= Alt（5），即五次对称群；
5.Aut（E）= Alt（5），即五次对称群。

若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。

三、预备知识
在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。

我们把三维欧式空间理解为实数域上定义了距离函数的三维向量空间，记做R 。

取一个直角坐标系，欧式空间R 到自身的一个变换a叫作保距变换，如果a保持任意两点之间的距离不变，而a叫作正交变换，如果它是保距变换，并且还保持坐标原点不动。

正交变换一定是线性变换。

全体正交变换组成一个群，叫作实三维正交变换群，记做O （R），其中行列式为1的正交变换的全体组成一个指数为2的子群。

一个旋转变换由两个要素构成，即旋转轴和旋转角度，在接下来的内容里，我们将决定正多面体的旋转变换群（注意这里我们只考虑了旋转变换，而没有考虑所有的正交变换）。

四、主要结果
先看正四面体，我们设其旋转变换群为G，首先我们证明G在该四面体的顶点集合（A，B，C，D）上是传递的，从几何上可以看到，以过点A和三角形BCD的中心M的直线为轴旋转角度为120度和240度的旋转变换轮换B、C、D 三点，这两个旋转和恒等变换构成了G的一个三阶子群，他是G关于点A的点稳定子群GA，同样的，G关于點B的点稳定子群GB也轮换A、C、D三个点，由此已经可以看出，G在顶点集合（A，B，C，D）上是传递的，于是，由轨道—点稳定子公式可得|G|=4*|GA|=12。

另一方面，每个旋转变换都对应与顶点集合（A，B，C，D）上的一个置换，而且，不同的置换对应的旋转变换是不同的。

（因为每个非平凡的旋转变换只保持轴上的点不动）。

这样，G同构与Sym（4）的一个12阶子群，众所周知，Sym（4）只有一个12阶子群，那就是Alt（4），故G=Alt（4）。

再看正六面体，我们设其旋转变换群为G。

与前面讨论的正四面体情况相同，我们可以证明G在该六面体的定点集合上是点传递的。

确定一点A，G关于A 的点稳定子群GA是三阶循环群，由已过A，A’的直线l2为旋转轴角度是120度的旋转变换生成，由轨道点稳定子公式得|G|=8*|GA|=24。

下面考虑G在正六面体的四条主对角线AA’，
BB’，CC’，DD’上的作用。

他把G同态的映射到Sym（4）的一个子群，我们断言这个同态的核Ker一定是1，由|G|=24，我们即可得到G=Sym（4）。

下用反证法，假定同态核不为1，则必定有一个非平凡旋转a把至少一条主对角线的两个端点互换，比如吧A，A’互换，由于正交变换保持距离，a也必定吧A 相邻的两个点B，D编导B’和D’，只考虑A，A’，B，B’四个点，a的旋转轴必为与该四点所在平面垂直且过球心的直线，从几何上看，旋转a显然是不可能达到这种情况的，这就是一个矛盾。

最后看正十二面体，正十二面体有十二个面，每个面都是正五边形，设想画出这12个正五边形的所有对角线，他每个面上有五条，共60条，任取正十二面体的一条边PQ，有两个面以他为邻边，每个面上有一条对角线与该边平行，因此这两条对角线也相互平行，设这两条对角线为AD，BC。

连接AB和CD。

由于连线也是其他面中的对角线，长度相等，并与原来的两条对角线垂直。

于是我们得到了一个由对角线构成的正方形ABCD。

在考虑与P，Q对极的两点P’和Q’，连成边，同样的方法可以得到一个由对角线构成的正方形A’B’C’D’，并且这个新得到的正方形与先前得到的正方形ABCD是平行的，在这两个正方形的顶点之间在连四条边AC’，BD’和CA’，DB’就得到一个边长都相等的正六面体。

因此在构造次（下转第163页）（上接第161页）六面体时选的两边PQ，P’Q’的中点的连线是该正十二面体的旋转角度为180度的旋转变换所对应的旋转轴，者推出在这两个正方形之间的四条连线都与这个正方形垂直，因此得到的六面体是正方形。

容易看出，这个正方体的12条边分别属于正十二面体的12个面。

進一步，从60条对角线的每一条出发，用上述方法都可以得到一个正方体，因此至少有五个这样的正方体。

我们断言，每条对角线只能属于一个正方体，因此恰有五个真阳的正方体，为说明这点，只需注意同一正方体的任意两边或平行，或垂直，而同一个面上的两条不同的对角线既不平行也不垂直即可。

下面考虑正十二面体的旋转变换群G。

与前面类似，容易证明G在该正十二面体的顶点集合上是传递的。

取定一个顶点，以它和其对极点连线为轴线的非平凡旋转一共有两个，于是保持该顶点不动的稳定子群是3阶的。

这样|G|=20*|3|=60，考虑G在上述五个正立方体上的作用，则G同态的映射到Sym （5）的子群上。

设K是该同态映射的ker，我们断言K=1。

为证明这点，我们要再次应用属于同一个六面体的边或者平行或者垂直的事实，因为G中有三类旋转变换，其旋转轴分别过正十二面体的对极点连线，对面中点连线，和对边中点连线。

第一种旋转把邻近极点由面的对角线组成的正三角形的三条边互换，所以这三条边既不平行，也不垂直，因此分别属于不同的正六面体。

故这类旋转不属于K。

第二种旋转把与旋转轴平行的正五边形的五条对角线互换，这五条对角线既不平行，也不垂直。

因此分别属于不同的正六面体。

故这类旋转不属于K。

对于第三种旋转，从几何上也容易看出他可以把某条对角线变到与他既不平行也不垂直的另一对角线，因此也不再K中，但这里我们宁愿用群论的方法来证明这点。

由于前面已经证明的，假定K不等于1，则|K|=2或者|K|=4。

如果|K|=2。

则K在G的中心里面，于是G将会有10阶元素和6阶元素，这是不可能的。

而如果|K|=4，则G/K是15阶群，由Sylow定理，他的五阶子群H/K是正规于G/K的，于是H中的五阶子群唯一，在利用Sylow定理，G中的五阶子群也是唯一的，这样，G只有四个5阶的非平凡旋转，与实际情况矛盾。

到此我们已经证明了K=1。

于是G同构与Sym（5）的60阶子群，但是Sym （5）的60阶齐群只有一个，那就是Alt（5），因此G=Alt（5）。

总结一下，即可得到定理。

【参考文献】
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