解析几何第一章PPT

M2 a
a有 或向向线M量段1M 的的模2方以 ：向M 向表1 量为 示的起 向大点 量小， 的.M 方| a2 向为 |或.终 |点 M的 1 M M有 12向 | 线 段 .
h
2
单位向量：模为1的向量.
a
0
零向量：模为0的矢量.0
相同，定那义a么1.叫1.做2 ＝相如等果向两量个b.矢记量为的模a相b等且方向
所有的零向量都相等.
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的矢
量叫做互为负（反）矢量.
a的反矢量 a记为 a
a
AB与BA互为反矢量.
h
3
§1.2 向量的线性运算
所谓线性运算是指向量的加法运 算和数乘运算。
h
4
§1.2.1 向量的加、减法
定义 1.2.1 设已知向 a、 b， 量以空间任意 O为一始点点 接连作向 OA量 a， ABb得一折O线 A， B 从折线的端
O到另一端 B的点向O量Bc,叫做两向 a与量 b的和，记做
cab
a
B
b
O
A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则.
定理1.2.1 如果把两个向量 OA、OB 为邻边
组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OCOAOB
h
5
B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
向量减法
a b a ( b )
b
b c
a
b
c
a
(b)
ab
b
a
ab ab
h
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例1 设互不共线的a,三 b与c向 ，量 试证明顺次将
它们的终点与始 而点 成相 一连 个三角形 条的 件充 是要
它们的和是.零向量
C
证必要 设 性 三a， 向 b， c可 量以
构成三 AB角 ， C形 即 AB 有 a,BC A
（1）交换律： a b b a .
（2）结合律： a b c ( a b ) c a (b c ).
（3） （3）
a0 a
a ( a ) 0 .
h
6
有限个向 a1,a量 2,an相加可由向量的 求三 和角形 法则推广
自任意O开 点始，依O次A 1 引 a1,A1A2 a2,,
例1.2.5 用向量法证明：四面体对边中点的连 线交与一点且互相平分。
h
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证 设四面体 ABCD 一组
对边 AB , CD 的中点 E , F 的连
D
线为 EF , 它的中点为 P 1 , 其余
两组对边中点分别为
P2, P3,
e3
下只需证 P1 , P 2 , P 3 三点重合
就可以了 .取不共面的三矢量
B
b,C Ac，那 A＋ B 么 B＋ CC＝ AAA 0,即 abc0 充分性 设abc0，作 ABa,BCb,那么 AC
ab,所以 ACc0,从而 c是AC的反向量， c＝因此
CA ，所a以 ， b， c可构成一个A三 B.C 角形
h
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§1.2.2 向量的数量乘法
定义1.2.3 实数与向量a的乘积是一个向量， 记做a,它的模是a a； a的方向，当 0时与a相同， 当 0时与a相反.
An1An an,由此得一O折A 1A线 2An,于是向O量 An
a就是 n个向a量 1,a2,,an的和，即
OAOA 1A1A2 An1An .
A1
A4
A3
A2
An-1
O
An
这种求和的方法叫做多边形法则
h
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定1.义 2.2当向 b与量 向 c的量 和等 a， 于 b即 c向 a 量
时，我c叫 们做 把 a与 向 向 b的量 量 差， ca 并 b. 记做
第一章 向量代数
1.1 向量的概念 1.2 向量的线性运算 1.3 向量的内积、外积和混合积
h
1
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做矢量， 或称向量.
两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量;
矢量(向量)既有大小又有方向的量.
向量的几何表示：有向线段 有向线段的长度表示向量的大小,
h
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§1.2.3 向量的线性关系与向量的分解
定1义 .2.4由矢 a1,量 a2, ,an与数 1,量 2, ,n 所组成a的 1矢 a1量 2a2 nan,
叫做a矢 1,a2,量 ,an的线性 . 组合
定义 1.2.5 向量组若用同一有起向点线的段 表示，他们在一（条一直个线平面上）， 则称这个向量组（是共共面线）的
（1） 1 • a a , ( 1 ) • a a
（2）结合律： (a ) (a ) () a
（3）第一分配律： ( ) a a a
（4）第二分配律：
( a b ) a b
h
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设 e a 表示与a 非 同零 方向 向量 的单
按照向量与数的乘积的规定，
而
11 A E 2A B 2e1,
从A 而 1 P 1 2 1 2 得 e 1 1 2 (e 2 e 3 ) 1 4 (e 1 e 2 e 3 ),
同 理 Ai 可 P 1 4(e 1 e 得 2 e3)(i,2 ,3 ) 所以 A1＝ PA2＝ PA3P
从而知 P1,P2,P3三点重合，命题. 得证
我们把这种运算叫做量数与向量的乘法， 简称为数乘.
h
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设((12))是 一00,个, 数，aa 与向a0 量同a向与，|的a 乘| 积|aa 规|定为
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
a 2a
1
a
2
h
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定理1.2.2 数与向量的乘积符合下列运算规律：
AB e 1 , AC e 2 , AD e 3 , A
F
P1
Leabharlann Baidue2
C
先求
AP
用
1
e 1，e 2，e 3 线性表示的
关系式 .
E e1 B
h
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连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有
1 AP1 2(AEAF),
又因为AF1是△ACD 的中线，所以又有
A F1 2(A C A)D 1 2(e2e3),
a|a|ea
|
a a
|
ea
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结 果是一个与原向量同方向的单位向量.
h
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推论 1.2.1
（ 1） 如果 0，且 ab，则 ab （ 2） 如果 a0，且 aa，则
h
14
例1.2.4 用向量法证明中线定理：三角形两边 中点的连线平行且等于第三边的一半。
h
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定理 1.2.3若a0， 则b与a共线的充要条件
存在唯一的 ， 实使 数b得 a.
定理1.2.4 b与a共线的充要条件