四.辅助变量法(IV)

必与方程误差 ε 无关而与 X 相关，因此②，③式 必满足。
但被辨对象的理想输出yu(k)得不到，因此只能利 ˆ (q 1 ) 代替 B(q1 )/ A(q1 ) ˆ (q 1 ) / A 用被辨系统的一个拟合模型 B ，并利用这个辅助模型的输出来代替v(k)。 1 ˆ B(q ) 显然，辅助模型的输出应为v ˆ( k ) u (k ) 1 ˆ (q ) A 而辅助变量矩阵相应为
利用类似于 RLS 的推导方法，可得到递推辅 助变量算法RIV如下：
ˆIV ( N 1) ˆIV ( N ) K ( N 1)[ y ( N 1) xT ( N 1)ˆIV ( N )] T 1 K ( N 1) P ( N 1) ( N 1)[1 x ( N 1) P ( N ) ( N 1)] P( N 1) (I K ( N 1)xT ( N 1)] P( N )
T (n 1) v(n) T (n N ) v(n N 1) v(1) u ( n) u (1) u( N )
B(q ) v(k ) u (k ) 1 A(q )
阵
v( N ) u (n N 1)
——————② ——————③
Y Xθ ε
Twk.baidu.comT T
——————④
于是得：
θ ( X) Y ( X) ε
T T
T 1 T ˆ θ IV ( X) Y
1 T
1 T
———⑤ ———⑥
取上式等号右边第一项作为θ的估计量，记为 式中，Ω称为辅助变量矩阵，Ω中的元素称为辅助变量。
ˆ( N ), , v ˆ( N n 1), u ( N ), , u ( N n 1)]T ( N 1) [v T x ( N 1) [ y ( N ), , y ( N n 1), u ( N ), , u ( N n 1)] 式中 T 1 P( N ) [ ( N ) X( N )] T ˆ (N ) ˆ v ( N 1) ( N ) IV
ˆ( n) T (n 1) v T (n N ) ˆ(n N 1) v ˆ(1) v u ( n) u (1) u( N )
ˆ( N ) u (n N 1) v
可以证明 Ω 一定满足②式，然而③式却难以得到 保证。但是当 {u(k)} 为持续激励信号且与 ξ(k) 无关时， 两个条件均满足，因而用这种Ω所得ˆIV 是一致无偏的。
式⑥在形式上与一般最小二乘估计公式相似，但 它在 {ε(k)} 为有色噪声情况下是参数的一致无偏估计量。 这是因为式⑤有
ˆ
IV
( X)
T 1 T
———⑦
利用滤波法的出发点是：如果辅助模型是未 受噪声ξ(k) 干扰的原系统模型，那么辅助模型的 输出就是v(k),且满足： 1 显然，由 {v(k)} ， {u(k)} 构成的下列辅助矩
T (n 1) 若有一矩阵 Ω T (n N )
，
它的维数与X相同（为N*2n维）且满足
E{ } P lim
T N
式中Ω为非奇异阵。用ΩT左乘式①有
1 T E{ X} P lim X Γ N N
T
1 T ε0 N
A(q 1 ) y(k ) B(q 1 )u(k ) (k )
其向量形式为：
Y X
————①
• 式中
xT (n 1) y (n 1) (n 1) Y , ε , X T y ( n N ) ( n N ) x (n N )
四.辅助变量法(IV)
广义LS算法过于复杂，因此寻求简便一些的一 致无偏估计算法很有实用价值。辅助变量法与扩充 （增广）最小二乘法便是这样的算法。 辅助变量法记为 IV （ Instrumental Variable ） 其基本特点是在算法中引入了一个辅助变量，这个 辅助变量与方程误差不相关而与观测数据相关。 设被辨识系统用广义回归模型描述：
T (i) [v(i 1), , v(i na ), u(i d ), , u(i d nb )] 对应于(a)图 ˆ u (k d ) b ˆ u (k d n ) ˆ1v(k 1) a ˆna v(k na ) b v( k ) a 0 nb b 对应于(b)图 v(k ) u(k na )
ˆ (0) 0 ；亦可先 递推的初值可取 ˆIV (0) 0, P(0) 2I, V 采用一般RLS算法，经过l步后转为RIV，而由前l步RLS ˆ (0), P(0) 。 算得的 ˆLS (l ), P(l ) ，便是RIV的初值 LS
构成辅助变量的方法，还有n步滞后输入法，n步 滞后输出法等： 这时，辅助矩阵Z的第i行向量为