指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
（2）．两个重要公式
①⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n
n ；
②a a n
n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m
n
a
a m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-
*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q )。

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q )。

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q )。

. 3．指数函数的图象与性质
n 为奇数 n 为偶数
y=a x a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质
（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1。

x<0时,0<y<1
(2) 当x>0时，0<y<1。

x<0时, y>1
(3)在（-∞，+∞）上是增函数 （3）在（-∞，+∞）上是减函数
注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义
如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N
a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数
对数形式 特点
记法
一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a
常用对数 底数为10 lg N
自然对数
底数为e
ln N
2、对数的性质与运算法则
（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②log 1a
a =，③log N
a a
N =，④log N
a a N =。

（2）对数的重要公式：
①换底公式：log log (,1,0)log N N
a b
b
a
a b N =>均为大于零且不等于； ②1
log log b
a a
b
=。

（3）对数的运算法则：
如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N
M
a a a
log log log -=； ③)(log log R n M n M a n
a ∈=；
④b m
n
b a n
a m log log =。

3、对数函数的图象与性质
图象
1a >
01a <<
性
质
（1）定义域：（0,+∞）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数
（5）在（0,+∞）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.
4、反函数
指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

（三）幂函数 1、幂函数的定义
形如y=x α
（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象
注：在上图第一象限中如何确定
y=x 3，y=x 2，y=x ，
12
y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0；
当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12
y x =， y=x -1； 当0<x 0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1，12
y x =，y=x ， y=x 2，y=x 3。

y=x y=x 2
y=x 3
12y x =
y=x -1
定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且
奇偶性 奇 偶
奇
非奇非偶 奇
单调性
增
x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减
增 增
x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减
定点 （1，1）
三：例题诠释，举一反三
知识点1：指数幂的化简与求值 例1.(2007育才A)
（1）计算：25
.021
21
3
2
5
.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；
（2）化简：533233
23
23
3
23
134)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b
a a ⋅⋅⨯
-÷++--
变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
;)(6
5
3
121211
3
2
b
a b
a b a ⋅⋅⋅⋅-
-
（2）.)4()3(6
52
1
332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a
(3)
1
200.2563
43
3
721.5()82(23)()63-
⨯-+⨯+⨯- 知识点2：指数函数的图象及应用
例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )3
1()21(=，下列五个关系式：①0＜b ＜a 。

②a ＜b ＜0。

③0＜a ＜b 。

④b ＜a ＜0。

⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x
且)1≠a 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质
例3.（2010省实B ）已知定义域为R 的函数12()22
x x b
f x +-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性。

（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．
变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=x
x a a e e +是R 上的偶函数. （1）求a 的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 知识点4：对数式的化简与求值
例4.（2010云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+
（2）2(lg 2)2
+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2
+-。

（3）21lg
4932-3
4
lg 8+lg 245.
变式：（2010惠州A ）化简求值. （1）log 2
48
7
+log 212-21log 242-1。

（2）(lg2)2
+lg2·lg50+lg25。

（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 知识点5：对数函数的性质
例5.（2011深圳A ）对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+②1log (1)log (1)a a a a
+>+； ③111;a
a
a
a
+
+<④111;a
a
a
a
+
+>其中成立的是（）
（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④ 变式：（2011韶关A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b
b b b a 1
log ,log ,1的大小关系是 （ ）
A.log a b
b b b a 1log log 1<< B.b b b b
a a 1log 1log log << C.b
b b a b a 1
log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log <<
例6.（2010广州B ）已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|
≥1成立，试求a 的取值范围. 变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2
-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减
函数.求实数a 的取值范围. 知识点6：幂函数的图象及应用
例7.(2009佛山B)已知点(22)，
在幂函数()f x 的图象上，点124⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．
变式：（2009揭阳B ）已知幂函数f(x)=x 3
22
--m m
（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上
是单调减函数.（1）求函数f(x)。

（2）讨论F （x ）=a ）
（）（x xf b
x f -的奇偶性.
四：方向预测、胜利在望 1．（A ）函数4
1lg
)(--=x x
x f 的定义域为（ ） A ．(1，4)B ．[1，4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）
(A) (ln2)2
(B) ln(ln2)
(C) ln 2
(D) ln2
3（B ）设a>1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,2
1则a=( )
(A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）4
4.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设
63(),(),52
a f
b f ==5
(),2c f =则（ ）
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<
5.（B ）设f (x )= 12
32,2,
log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ） (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）
(C)（1，2）⋃（10，+∞）(D)（1，2）
6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 21212
1log log log <<，则( )
A ．c
a
b
222>>
B ．c b a
222>>C ．a b c 222>> D ．b a c 222>>
8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）
（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+
(C) 1()()
x x f x a a -=
+ (D)2()2x
f x ln
x
-=+ 9.（A ）函数y =的定义域是：（）
A [1,)+∞
B 23(,)+∞
C 23[,1]
D 2
3(,1]
10.(A)已知函数kx y x y ==与4
1log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）
A ．41-
B ．41
C ．21-
D ．21
11．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x
、三、四象限，则一定
有（ ） A ．010><<b a 且 B ．01>>b a 且
C ．010<<<b a 且
D ．01<>b a 且
12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=
（ ） A.
42B. 22C. 41D. 2
1 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ）
（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a 14.（A ）已知x x f 26
log )(=，那么)8(f 等于（ ）
（A ）
3
4 （B ）8 （C ）18 （D ）
2
1 15．（B ）函数y ＝lg|x| （ ）
A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3
)
4lg(--=
x x y 的定义域是____________________________.
17．（B ）函数1(01)x
y a
a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10(0)mx ny mn +-=>上，则11
m n
+的最小值为 ．
18．（A ）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1
(())2g g =__________
19．（B ）若函数f(x) =
12
22--+a
ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________. 20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++
=是奇函数，则a =．
21.(B)已知函数x
x
x x f -+-=11log 1)(2
，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
参考答案：
三：例题诠释，举一反三 例1. 解：（1）
9
2，（2）2a 变式：解：（1）1, （2）
.4514545)(23232
12
33
13
6
1
ab ab ab b a b a b -=⋅-=⋅-=÷-----
(3)110 例2. 解：B
变式：解：)2
1,0(；
例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数。

（Ⅲ）3
1-<k 变式：解：（1）a=1.（2）略
例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）2
1.
变式：解：(1).
232log 2
21
log 242481272
322-===⨯⨯⨯-
（2）2.（3）
4
5 例5. 解：选D 。

变式：解： C
例6. 解：(1，3］∪［3
1
，1） 变式：解：{a|2-23≤a ＜2}
例7. 解：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；
（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 变式：解：（1）f(x)=x -4
. （2）F （x ）=
32
bx x a -， ∴F （-x ）=
2
x a +bx 3
.
①当a ≠0，且b ≠0时，F （x ）为非奇非偶函数；
②当a=0,b ≠0时，F （x ）为奇函数； ③当a ≠0,b=0时，F （x ）为偶函数；
④当a=0,b=0时，F （x ）既是奇函数，又是偶函数. 四：方向预测、胜利在望
1—5 ADDDC ； 6—10 AADDA ； 11—15 CADDB. 16. (-∞, 3)⋃(3,4) 17. 4 18.
2
1
19.[-1,0] 20.22
21．[解]x 须满足,11011,0110
<<->-+⎪⎩
⎪
⎨⎧>-+≠x x x x x x 得由
所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有
)()11log 1(11log 1)(22x f x
x
x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数.
研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则
,0)112
(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(
11log 111log 1
)()(1
222211
222212
22
2112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由
得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.。