(优选)第四章复变函数的级数

2 en en n
2
例 2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛.
1) 1(1 i )
n1 n
n
2) (8i)n
n0 n!
3)
n1
(1)n n
1 2n
i
定理4.4 设 n是收敛数列，则其有界, 即
存在M>0, 使得 n M (n 1,2,3, ).
§4.2 幂 级 数
1 幂级数的概念 2 收敛圆与收敛半径 3 收敛半径的求法 4 幂级数的运算和性质
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
cnzn
发级散数. 在复平面内除原点外处处发散.
n0
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收
敛的正实数.
设 z 时, 级数收敛; z 时, 级数发散. 如图:
y
收敛圆
R
收敛半径
o
.
.
1
.
处收敛，则当 z z0 时, 级数 cnzn 绝对收敛; n0
若级数 cnzn 在 z0 处发散，则当 z z0 时, 级数 n0
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
定理二 级数 n (an ibn )收敛的充要
n1
n1
条件是 an , bn 都收敛, 并且
n1
n1
n an i bn .
n1
n1
n1
说明
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
推 论 如果级数 n 收敛, 则 lnimn 0. n1
定义4.3 设 n 是复数项级数, 如果正项
k 1
k 1
k 1
k 1
因此, 如果 an 和 bn都绝对收敛时, n 也
n1
n1
n1
绝对收敛.
综上可得:
n 绝对收敛 an 和 bn 都绝对收敛.
n1
n1
n1
例 1 下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限.
1)
n
(1
1
)e
i
n
n
2) n ncosin
ei(in) ei(in) n
z n1 zn
lim cn1 n cn
达朗贝尔判
z z别法
故知当 z 1 时， cn z n 收敛。根据上节的
n0
定理三，级数
函数项级数的形式为
cn(z a)n c0 c1(z z0 ) c2(z z0 )2
n0
cn(z z0 )n ,
或 z0 0 的特殊情形
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn ,
n1
这类函数项级数称为幂级数.
定理一 (Abel定理) 若级数 cnzn在 z0 0 n0
n 1 2 n
n1
为无穷级数.称
n
Sn k 1 2 n
k 1
为该级数的部分和.
级数收敛与发散的概念
定义4.2 如果级数
n 1 2 n
n1
的部分和数列 Sn收敛于复数 S, 则称级数收敛,
这时称S为级数的和, 并记做
n S.
n1
如果 Sn 不收敛，则称级数发散.
复数项级数与实数项级数收敛的关系
1
.
x
幂级数 cnzn的收敛范围是以原点为中心的圆域.
n0
收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别 规定为 , 0, R.
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
则称级数 fn(z) 在 z0 点收敛, 且S(z0 )是级数和. n1
如果级数 fn(z) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为该级数在区域D上的和函数.
当 fn(z) cn1(z z0 )n1 或 fn(z) cn1zn1 时,
n1
级数 n 收敛, 则称级数n 绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝对收敛级数的性质
定理三 若级数 nn绝收对敛收敛, 则 n 也收敛,
nn11
n1
并且
n n .
n1
n1
补充 因为 n an2 bn2 an bn , 所以
n
n
n
n
k
ak2 bk2 ak bk .
1 幂级数的概念
设 fn(z) (n 1,2, ) 是定义在区域D上的
复变函数列,称
fn(z) f1(z) f2(z)
n1
为复变函数项级数.
fn(z)
Sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
为该级数的部分和.
如果对 z0 D,下述极限存在
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 ),
zn
1
.
n1
1 z
3 收敛半径的求法
定理二 (比值法) 设级数 cnzn . 如果 n0 lim cn1 , c n n
则
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当 0 时,
收敛半径
R 1.
证明：由于
正项级数
lim cn1 n cn
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
级数 zn 发散.
n
n0
Sn 1 z z2
zn1 1 zn (z 源自文库). 1 z
z 1
1
lim
n
Sn
1
z
级数 zn 收敛,
n0
所以收敛半径 R 1, 在 z 1 内, 级数 zn
n0
绝对收敛, 且有
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称 是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
此定理说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别 两个实数列的敛散性.
2 复数项级数的概念
设 n an ibn 是复数列, 则称
（优选）第四章复变函数的级 数
§4.1 复数项级数
1 复数列的极限 2 复数项级数概念
1 复数列的极限
称 n an ibn (n 1, 2, 3, ) 为复数列, 简称
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式