人教版高考数学复习教案：第六章 数列与数学归纳法

第六章

⎪

⎪

⎪

数列与数学归纳法

第一节数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

概念含义

数列按照一定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列{a n}的第n项a n

通项公式

数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f(n)表示，这个公式叫做

数列的通项公式

前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和列表法列表格表示n与a n的对应关系

图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中

公式

法

通项公式把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式

使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等表示数列的方

法

n n

若数列{a n}的前n项和为S n，

则a n＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧S1，n＝1，

S n－S n－1，n≥2.

4．数列的分类

[小题体验]

1．已知数列{a n}的前4项为

1

2，

3

4，

7

8，

15

16，则数列{a n}的一个通项公式为________．

答案：a n ＝2n －1

2

n (n ∈N *)

2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n

2a n ＋3

，则a 5等于________． 答案：

1161

3．(教材改编题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3n －1，则a n ＝________. 答案：2×3n －

1

1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．

[小题纠偏]

1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．

答案：a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2，n ＝1，2n －1，n ≥2

2．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大． 答案：4或5

考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．(2019·温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差即a 2 018－5＝( )

A ．2 017×2 024

B ．2 017×1 012

C ．2 018×2 024

D ．2 018×1 012

解析：选B 结合图形可知，该数列的第n 项为a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)，所以a 2 018

－5＝4＋5＋6＋…＋2 020＝

2 017×(2 020＋4)

2

＝2 017×1 012.

2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

(1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－

11×2，12×3，－13×4，14×5

，…； (3)－1,7，－13,19, …； (4)9,99,999,9 999，….

解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×

1

n (n ＋1)

，n ∈N *.

(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)，n ∈N *.

(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.

[谨记通法]

由数列的前几项求数列通项公式的策略

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n

＋1

来调整．

考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝n 2＋1； (2)S n ＝2n －a n .

解：(1)a 1＝S 1＝1＋1＝2，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1，而a 1＝2，不满足此等式．

所以a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2，n ＝1，

2n －1，n ≥2.