概率论第二章习题

P
16 19
1 18 1 3
α
β
且 X、Y 相互独立 ,则_______.
9
2)设 X
~ N ( μ , σ 2 ) ,那么当 σ P{ X − μ < σ } =
增大时，
A）增大； C）不变；
B）减少； D）增减不定。
10
3)设 X 的密度函数为 f ( x ) ,分布函数为 F ( x ) , 且 f ( x ) = f ( − x ),那么对任意给定的 a 都有 a A) f ( − a ) = 1 − ∫0 f ( x )dx ;
x ⎧0.5(1 − e − x ), C） F ( x ) = ⎨ ⎩ 0,
x
x>0 x≤0
+∞
2
π
D） F ( x ) = ∫− ∞ f ( t )dt ，其中 ∫− ∞ f ( t )dt = 1
12
5) 已知 X 1、X 2 相互独立 , 且分布律为
Xi P
0
12
1
12
( i = 1 , 2)
概率统计第二章自测题 一．填空题：
1) 设离散型随机变量X的分布率为 则A=?
1 k P { X = k } = 5 A( ) , ( k = 1, 2,…) 2
1
2）已知随机变量 X 的密度为
⎧ax + b,0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ,且 P{ X > 0.5} = 5 / 8 ,则 0, 其它 ⎩ a = ________ b = ________
求 F(x).
25
四、证明题
设随机变量 X 的参数为 2 的指数分布， 证明：Y = 1 − e − 2 X 在区间 (0,1)上服从均匀分布。
26
−x
19
3）对球的直径作测量，设其值均匀地分布 在[a, b]内。求体积的密度函数。
20
4）设在独立重复实验中，每次实验成功概率 为 0.5 ，问需要进行多少次实验，才能使 至少成功一次的概率不小于 0.9。
21
5）公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头 的机会在 0.01 以 下 来设计的，设男 子的身高 X ~ N (168 ,7 2 ) ,问车门的高度应如何确定？
那么下列结论正确的是_____.
13
2 2 6) 设 X ~ N μ1 , σ1 , Y ~ N μ2 , σ 2 , 那么 X 和 Y
(
)
(
)
的联合分布为_____.
A. 二维正态分布,且 ρ = 0
B . 二维正态分布,且 ρ 不定
C . 未必是二维正态分布
D. 以上都不对
14
7)
假设随机变量X 服从指数分布, 则随机变量Y=min (X, 2)的分布函数 ( ). B . 至少有两个间断点 A . 是连续函数 D . 恰好有一个间断点 C . 是阶梯函数
4
6) 设随机变量 X 服从参数为（2，P）的二项分布，随 机变量 Y 服从参数（3，P）的二项分布，若 5 P { X ≥ 1} = , 则P {Y ≥ 1} = ____ . 9
7) 设 随 机 变 量
X
的 分 布 律 为
( bλ ) k P( X = k ) = a , k = 0,1,2, k! 已知常数，则 a = ______ .
7
⎧ ⎪ f (x) = ⎨ 10) 设随机变量X的概率密度函数为 ⎪ 2, ⎩ 若存在 k 使得 P{X ≥ k} = 3 0 , 其他
1 , 0≤ x≤1 3 2 , 3≤ x≤6 9
则 k 的取值范围是
8
二．选择题：
1) 设离散型随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布律为 ( X ,Y ) (1 ,1) (1 , 2) (1 , 3) (2 ,1) (2 , 2) (2 , 3)
a 1 B) F ( − a ) = − ∫0 f ( x )dx ; 2 C) F (a ) = F ( − a ) ； D) F ( − a ) = 2F (a ) − 1
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4）下列函数中，可作为某一随机变量的 分布函数是 1 1 1 A） F ( x ) = 1 + 2 B） F ( x ) = + arctan x
2
3）设
X ~ N ( 2 , σ 2 ) , 且 P { 2 < X < 4 } = 0 .3 , 则
P { X < 0} =
_________
3
4) 随机变量 X 具有以下的分布律： X P --2 0.2 0 0.2 2 0.3 3 0.3
则Y = X 2 的分布律为 _____ .
5) 已 知 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 f X ( x ) = Ae − | x | ,−∞ < x < +∞ , 系数A = ______;X 的分 布函数 FX ( x ) = _____;Y = X 2 的概率密度 _______ .
⎛ 3⎞ 分布律为： P { X = k } = ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠
k −1
10 k = 1,2, 13
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1）从一批有10 个合格品与 3 个次品的产品中一件 一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相 同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所 需抽取次数的分布率。 （1）放回 （2）不放回
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2 ） 设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 f ( x ) = Ae （1） 系数 A ; (2) P {0 ≤ X ≤ 1};(3) ( −∞ < x < +∞ ),求 分布函数 F ( x ) .
−x
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2）设随机变量 X 的密度函数为
( −∞ < x < +∞ ) , f ( x ) = Ae 求：(1)系数 A ；(2) P {0 ≤ X ≤ 1}；(3)分布函数 F ( x ) .
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6)
设随机变量U 在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量:
⎧-1, X =⎨ ⎩1, 若U ≤ -1 ⎧-1, , Y =⎨ 若U > -1 ⎩1, 若U ≤ 1 , 若U > 1
求(1) ( X, Y ) 的联合分布, (2) Z=X+Y的分布.
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7) 设二维连续型随机变量 ( X ,Y )的联合分布函 数为 x y F ( x , y ) = A( B + arctan )(C + arctan ) 2 3
, 其 中 b, λ > 0 是
5
8) 已知 X ~ N( -3, 1 ), Y ~ N( 2, 1 ), 且 X 与 Y 独立，则 W = X - 2Y ~ 则 Z = X - 2Y + 7 = W + 7 ~
6
9) 已知 X、Y 的分布律为
Y 0 X
0
13
a
1
b
1
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且{ X = 0}与{ X + Y = 1} 独立 ,则 a = ___ , b = ____ .
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三、 解答题
1）从一批有10 个合格品与 3 个次品的产品中一件 一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相 同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所 需抽取次数的分布率。 （1）放回 （2）不放回
解： (1) 放回： 设抽取次数为随机变量 X , 则 X 的所有可能取值为 : X = 1,2,
( 1) ( 3)
求 A、B、C 的值Hale Waihona Puke Baidu,
( 2 ) 求 ( X ,Y ) 的联合密度 ,
判断 X、Y 的独立性 .
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8) 设
⎧ x, 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ X ~ f ( x ) = ⎨2 − x , 1 ≤ x ≤ 2 ⎪ 0, 其它 ⎩
由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时 注意分段求.