第四章 平面一般力系的简化及平衡

取右半部分为研究对象，画受力图： 由∑MC =0 FBy 0 4 4 2 4F XBx B 4 yB 即： 4 4 2 4F XBx B 4 17 0
kN F XBx B 9 KN
4kN/m FCx FCy FBx
将FBx 代入式：
X XBx F Ax A 20 F B 0
例10
解2：先以BC为研究对象，受力如图。
A
FAy
B
M B (F ) 0 :
再以DC为研究对象，受力如图。
FAx
l FT sin 45 l 0 FCx 2
(4)
FDx
W
D
FDy
W
W
C
Fx 0 FDx FCx 0 (5)
最后以整体为研究对象，受力如图。
（2）空载后翻临界状态（FB=0，W1=0)
2m 2m
MB (F) 0
W2
W
W1
A 2 max 2*W 0 (62)*W 2*W 1400 W 350 2 max kN 4 4
M (F) 0
所以75kN W2 350kN
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少？ 由平面平行力系的平衡方程可得：
F1 FD
q(2a b)2 F3 2a
C
q
A E
q(2a b) 2 F2 2a
2
F
3 a a a
B
D 1 b
C
例9 图示结构，各杆在 A、E、F、G处均为铰 例 9
接， B 处为光滑接触。在 C 、 D 两处分别作用 力P1和P2，且P1＝P2＝500 N，各杆自重不计， 求F处的约束反力。
第四章 平面一般力系的简化与平衡
4-1 平面任意力系向一点的简化· 主矢和主矩 4-2 平面任意力系简化结果的讨论 4-3 平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 4-4 平面平行力系的平衡方程 4-5 物体系的平衡问题 4-6 考虑摩擦的平衡问题X
平面任意力系实例
作用线既不汇交也不完全平行的平面力系称为平面一般力 系，也叫平面任意力系。
mA ( F )0
Q(62) P2W (122) N B 40
F
yi
0
Q P W N A N B 0
解得：
N A 210 kN N B 870 kN
4-5
物体系统的平衡问题
解题思路：先简单受力杆件，后复杂杆件
【例b4-4】求图示结构的支座反力。
3kN/m
4-3
平面任意力系的平衡条件
FR' F 0
当物体平衡时，主矢和主矩必须同时为零
M0 Mo (F ) 0
平面任意力系下的解析平衡条件
F 0 F 0 M（F ) 0
x y 0
这三个平衡条件是互相独立的，对于一个研究对象可以
求解三个未知力，且最多求解三个未知力。
3
Fx 0 : FAx 0
Fy 0: FAy FB FD F 4q 0
M A (F ) 0 : 8FD 4FB 2F 4q 6 0
解得
FCx
C
D
FCy
F A B
FD
qBiblioteka Baidu
C
FB 1 F 3q 2 FAy 1 F 1 q 2 2
G P1
例10 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。 已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。 A B
例10
FAy
B
FBy FT
FAx A
W
FBx
D C
解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。
M B (F ) 0 :
FAy l W l FT sin 45 l 0 2 2
AB 杆：
∑Fx=0 ∑MA=0
FAx FBx 0
3 6 3 8 FBy 6 FD 0 FD 17kN
FBx
∑Fy=0 F 3 6 F F 0 F 7kN Ay By D Ay
【例b4-5】求图示三铰拱的支座反力。 【解】取整体为研究对象， 画受力图： 由∑MA = 0
M0 M1 M 2 M n Mo (F1 ) Mo (F2 ) Mo (Fn ) Mo (F )
【说明】 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的 位置无关。 2、平面任意力系的主矩的大小与转向与简化中心O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明 简化中心。
【例b4-3】求图示结构的支座反力。 【解】取整个结构为研究对象画受力图。
由 ∑Fx = 0 ：
2 4 FAx 0 FAx 8kN
由 ∑MA = 0 ：
2 4 2 4 FBY 0 FBY 4kN
由 ∑Fy = 0 ：
FAx A FAy FBy B
FAy FBy 0 FAy FBy 4kN

一矩式平衡方程
F 0 F 0 M（F ) 0
x y 0

二矩式平衡方程
M (F ) 0 M (F ) 0 （AB不 x轴） F 0
A B x

三矩式平衡方程
M M M
A B C
(F ) 0 ( F ) 0 （A、B、C不共线） (F ) 0
B
M
Fy 0: FAy qa 0
M A (F ) 0
a 0 M A F (a b) 1 qa 2 FB 2 FB 求得 FB
F'B
B
MA FAx
A
M FAx F , FAy qa, M A b
FAy
例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。
2m A D P2 C
2m
2m B
解：先以整体为研究对象，受力如图。
E F
G P1
2m
2m 2m
M A (F ) 0 :
4FB 2P2 6P 1 0
解得：
FAx
A D
FAy
E F
FB
B
FB 1000N
P2
C
G
P1
再以DF为研究对象，受力如图。
例9
M E (F ) 0 : 2P2 2FFy 0
【例b4-1】已知 q = 2kN/m，l=2m，求图示结构A支座的反力。 【解】取AB 杆为研究对象画受力图。 由 ∑Fx =0 得
FAx 0
由 ∑Fy =0 得
FAy ql 0 FAy ql 2kN/m 2m 4kN
由 ∑ MA = 0 ： l M A (ql) 0 2 1 2 1 M A ql 2kN/m (2m)2 2kN.m 2 2
再以整体为研究对象，受力如图。
(1)
A
FAy
B
FAx
W
D
Fy 0:
FDy W
W
C
FAy FDy 3W 0
(2)
FDx
最后以DC为研究对象，受力如图。
例10
M C (F ) 0 :
FDyl W l 0 2
联立求解(1)、(2)、(3)得：
FDy
C
FCy
(3)
FDx D
解得：
D P2
E
FEy FEx F
FFy
FFx F'Fy
FGy
F
FB
B
FFy P 2 500 N
最后以杆BG为研究对象，受力如图。
F'Fx
FGx
G
M G (F ) 0 :
2m A D P2 C
2m
2m
2FFx 0 4FB 2FFy
解得：
B E
F
2m
2m 2m
1500 N FFx
【例b4-2】求图示结构的支座反力。 【解】取AB 杆为研究对象画受力图。
由 ∑Fx = 0
：
FAX 0
由 ∑ MA = 0 ：
4 2 1 20 2 4 FBY 0 FBY 12kN
由 ∑Fy = 0 ：
FAY 4 2 20 FBY 0 FAY 28 12 16kN
解：先以整体为研究对象，受力如图。
例4
q
A E D 1 b
Fx 0 : FAx FD 0
Fy 0: FAy q(2a b) 0
M A (F ) 0
2 FD a 1 q (2 a b ) 0 2
2 C a
F 3
a a F 3
B
解之得：
q (2a b) FD 2a
4-1
平面任意力系向一点的简化
点O 称为简化中心 向一点简化 平面一般力系 平面力偶系
合成 平面汇交力系
合成
FR（合力） Mo（合力偶）
平面任意力系向任意一点的简化结果为一个主矢FR 和一 个主矩Mo .
FR' F '1 F '2 Fn ' F 1 F 2 F n F
4-4 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平 行的力系。 图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作 用线垂直，显然有： F1 Fn y F2
F
x
0
o
x
这样，平面平行力系的平衡条件 可写为：
F1
y
Fn
Fy 0
M (F ) 0
o
F2
x
o
即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和 以及各力对任一点之矩的代数和都为零。 平面平行力系平衡方程的二矩式为 M A (F ) 0
12kN
【解】一个研究对象最 多有三个平衡条件，因
6m 2m 2m 2m
此研究对象上最多只能
有三个未知力。注意到
12kN FBx
BC杆有三个未知力，而 AB 杆未知力超过三个，
所以应先取BC 杆为计
3kN/m FAx FAy 6m FD 2m
FBy
2m
2m
FC
FBy
算对象，然后再取AB
杆为计算对象。
20kN
4kN/m
20 2 4 4 6 8F yBy B 0
F kN yBy B 17 KN
4kN/m 20kN
由∑Fy = 0
F y Ay A
：
kN 1KN
FAx FBx FAy FBy
4 4 F yBy B 0
F y Ay A
由∑Fx= 0
：
F FBx X Ax A 20 X B 0
W
FCx
FT 4 2W
A B
D
C
A 解2：先以BC为研究对象，受力如图。
B
M B (F ) 0 :
再以DC为研究对象，受力如图。
l FT sin 45 l 0 FCx 2
(4)
D
C
Fx 0 FDx FCx 0 (5)
B
F'By F'T W
C
F'Bx F'Cx F'Cy
FAx FAy
D
FB
FD
例7 求图示结构固定端的约束反力。
解：先以BC为研究对象，受力如图。
例7
F b
C q a M
M 0 : FCb M 0 M FC FB b
再以AB部分为研究对象，受力如图。
B
a A
C
FC
0 Fx 0 : FAx F FB
FB
F
q
FBx
BC 杆：
∑Fx = 0
FBx 0
12kN FBx FBy 2m 2m FC
∑MB = 0 P 2 FC 4 0
FC P / 2 6kN
∑Fy = 0
FBy P FC 0 FBy P FC 6kN
3kN/m FAx FAy 6m FD 2m FBy
2
FAy FAx FD
A E 2
q
q(2a b)2 FAx 2a
B
D 1
C
FAy q(2a b)
例 4 再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。
Fx 0: F1 F3 cos 45 0
y F2 F1 F3
45° x
Fy 0: F2 F3 sin 45 0
FBy
得：
kN FBx F X Ax A X B 20 11KN
例6 求图示多跨静定梁的支座反力。
解：先以CD为研究对象，受力如图。
例6
F B
q D C
M C ( F ) 0 : 3FD 3q 3 0 2 FD 3 q 2
再以整体为研究对象，受力如图。
A
2
2
1 q
M (F ) 0
B
注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。
【例4-6】塔式起重机，机架自重 W= 700kN，最大起重量P1 =200kN 为保证起重机在满载和空载时都不翻到，试求平衡块应为多大？
【解】画出起重机的受力图。 平面平行力系的作用。 （1）满载前倾临界状态（FA=0)
(62)*W 2 min 2*W ( 1 0 122)*W 1 2*W 10*W W 2 min 8 1400 2000 75 kN 8