微分算子法实用整理总结
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微分算子法
微分算子法分类小结
一、n 阶微分方程
1、二阶微分方程: 22d y d x +p(x)x
d dy
+q(x)y=f(x)
2、n 阶微分方程: y (n)+a 1y (n-1)+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ...
+a n y=f(x)
二、微分算子法
1、定义符号:D x
=d d
,D 表示求导,如Dx 3=3x 2,D n y 表示y 对x
求导n 次;D 1表示积分,如D 1
x=
x 212 ,
n
D 1
x 表示 对x 积分n 次,不要常数。 2、计算
将n 阶微分方程改写成下式:
D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y +
...
+a n-1Dy +a n y=f(x)
即 (D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n )y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n
规定特解:y *
=)(F(D)
1
x f 3、F(D)1
的性质
(1)性质一:
F(D)
1
e kx
=F(k)1e kx (F (k) 不等于0)
注:若k 为特征方程的m 重根时,有
F(D)1e kx = x m (D)
F 1(m)e kx = x m (k)F 1(m)e kx
(2)性质二:F(D)
1e kx
v (x)= e kx k)F(D 1+v (x)
(3)性质三:特解形如F(D)1sin(ax)和 F(D)
1
cos(ax)
i.考察该式(该种形式万能解法):F(D)1e iax 利用性质一和二解出结果,并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解
注:欧拉公式 e iax = cos(ax)+i sin(ax)
虚数 i 2 = -1
ii.若特解形如) F(D 12sin(ax)和) F(D 1
2cos(ax),也
可按以下方法考虑: 若F (-a 2)≠ 0,则
)
F(D 12sin(ax)=)F(-a 12sin(ax)
)
F(D 1
2cos(ax)=)F(-a 12cos(ax) 若F (-a 2)= 0 ,则按i.进行求解,或者设-a 2为F (-a 2)
的m 重根,则
)
F(D 12sin(ax)=x m
)(D F 12(m)sin(ax)
)
F(D 12cos(ax)=x m ) (D F 12(m)cos(ax)
(4)性质四(多项式):
F(D)
1(x p +b 1x p-1+b 2
x p-2
+...+b p-1x+b p ) = Q(D)(x p +b 1x p-1+b 2x p-2+...+b p-1x+b p ) 注:Q (D)为商式,按D 的升幂排列,且D 的最高次幂为p 。
(5)性质五(分解因式):
)(F(D)
1x f =)()(F (D)F 1
21x f D •=)()(F (D)F 112x f D • (6)性质六:
))()((F(D)
1
21x f x f +=)(F(D)1)(F(D)121x f x f +
三、例题练习
例1. 22d y
d x
+4y =e
x
则(D 2
+4)y =e x ,特解y *=4
1
2
+D e x =
4
112
+e x =51e x (性质一) 例2、 y (4)+y =2cos(3x ),则(D 4+1)y = 2cos(3x )
特解y *=
1
1
4
+D 2cos(3x )= 2114+D cos(3x ) = 2
1)3-(122+cos(3x )=41
1
cos(3x )(性质三)
例3、2
2d y
d x
-
4x
d dy +4y = x 2e
2x ,则(D 2-
4D +4)y = x 2e
2x
特解y
*
=+4
4-12D D x 2e 2x = e
2x 2-212
)(+D x 2 = e 2x
12
D
x 2
= 121x 4e
2x (性质二) 例4、33d y d x -322d y
d x +3
x
d dy - y =
e x ,则(D 3
-3D 2
+3D -1)y =e x
特解y *
=31-1)(D e x =e x 31-11)
(+D •1 =e
x 3
1D •1=6
1x 3e x (性质二)
例5、3
3d y
d x
-y =sinx ,则(D 3
-1)y =sinx ,特解y *=1-13
D sinx
考察
1-13
D
e ix
1
-1
3
D e ix =
1-i 13e ix =1i 1-+e ix =21-i e ix =21-i (cosx +i sinx) =-21(cosx +sinx)+i 21
(cosx -sinx) 取虚部为特解y *
=2
1(cosx -sinx) (性质一、三)