第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[学生用书

P120]

一、知识梳理

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面体结构特征

棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形

矩形一边所在的直线或对边中点连线所在直线

圆锥直角三角形或等腰三角形一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线

圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在直线

2.(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 3．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在的平面垂直；

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

常用结论

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”⎩⎪⎨⎪

⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变

“三不变”⎩⎪⎨⎪

⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变

二、习题改编

1．(必修2P19练习T2改编)下列说法正确的是( ) A ．相等的角在直观图中仍然相等 B ．相等的线段在直观图中仍然相等 C ．正方形的直观图是正方形

D ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

解析：选D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．2．(必修2P8A组T1(1)改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)

答案：③⑤

3．(必修2P15练习T1改编)已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是________．(填序号)

解析：由俯视图定义易知选项③符合题意．

答案：③

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．()

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()

(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()

(6)菱形的直观图仍是菱形．()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×

二、易错纠偏

常见误区|Ｋ(1)棱柱的概念不清致误；

(2)不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错；

(3)斜二测画法的规则不清致误．

1．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()

A．棱台B．四棱柱

C．五棱柱D．六棱柱

解析：选C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C.

2．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()

解析：选B.先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.故选B.

3．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.

解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.

答案：矩形8

[学生用书P121]

空间几何体的几何特征(自主练透)

1．下列说法正确的是()

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：

选D.由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．

2．给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选B.①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

3．给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；