电路原理邱关源习题答案第二章电阻电路的等效变换练习

第二章 电阻电路的等效变换
“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效
变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。

所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数
不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。

由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电
路具有相同的伏安特性。

等效的对象是外接电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。

等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的结果。

深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握“等效变换”的方法在电路分析中是重要的。

2-1 电路如图所示，已知12100,2,8s u V R k R k ==Ω=Ω。

若：（1）38R k =Ω；（2）处开路）33(R R ∞=；（3）处短路）33(0R R =。

试求以上3种情况下电压2u 和电流23,i i 。

解：（1）2R 和3R 为并联，其等效电阻842R k ==Ω，
则总电流 mA R R u i s 3504210011=+=+=
分流有 mA i i i 333.86502132====
V i R u 667.666508222=⨯==
（2）当∞=3R ，有03=i
mA R R u i s 1082100212=+=+=
V i R u 80108222=⨯==
（3）03=R ，有0,022==u i
mA R u i s 50210013===
2-2 电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。

求：（1）电压2u 和电流2i ；（2）若电阻1R 增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？
解：（1）对于2R 和3R 来说，其余部分的电路可以用电流源s i 等效代换，如题解图（a ）所示。

因此有 323
32R R i R i += 32322R R i R R u s
+=
（2）由于1R 和电流源串接支路对其余电路来说可以等效为一个电流源，如题解图（b ）所示。

因此当1R 增大，对432,,R R R 及s u 的电流和端电压都没有影响。

但1R 增大，1R 上的电压增大，将影响电流源两端的电压，
因为
s s s
i u u i R u -+=21
显然s i u 随1R 的增大而增大。

注：任意电路元件与理想电流源s i 串联，均可将其等效
为理想电压源s i ，如本题中题解图（a ）和（b ）。

但应该注意等效是对外部电路的等效。

图（a ）和图（b ）中电流源两端的电压就不等于原电路中电流源两端的电压is u 。

同时，任意电路元件与理想电压源s u 并联，均可将其等效为理想电压源s u ，如本题中对而言，其余部分可以等效为s u ，如题图（c ）所示。

但等效是对外部电路（如4R ）的等效，而图（c ）中s u 上的电流则不等于原电路中s u 中的电流。

2-3 电路如图所示。

（
1）求s o
u u ；（2）当)(//212121R R R R R R R L +=>>时，s o
u u 可近似为212R R R +，此时引起的相对误差为
00212100⨯+-s o
s o u u R R R u u
当L R 为)//(21R R 的100倍、10倍时，分别计算此相对误差。

解：（1）L L
R R R R R +⨯=22 R R u i s +=1 R R R u Ri u s
o +==1
所以 L L L s o R R R R R R R R R R R u u 212121++=+=
（2）设2121R R R R K R L +=，带入上述s o u u 式子中，可得
212
212
1212121212)1()(R R R K K R R R R K R R R R R R R R K R u u s o +⨯+=+⨯+++⨯=
相对误差为
000000212212212002121001100111 10011100)(
⨯-=⨯+-+=⨯+++-++=⨯+-=K
K K K K R R R K K
R R R R R R K K u u R R R u u s o s o η
当100=K 时 001-=η
10=K 时 0010-=η
2-4 求图示电路的等效电阻ab R ，其中
Ω=Ω==Ω==4,2,154321R R R R R ，
Ω===2,121R S G G 。

解：(a)图中4R 被短路，原电路等效为图(a1)所示。

应用电阻的串并联，有
[][]Ω=+=+=4.442//1//1////5321R R R R R ab
(b)图中1G 和2G 所在支路的电阻
Ω=+=21121G G R
所以 [][]Ω=+=+=322//2//34R R R R ab
(c)图可以改画为图(c1)所示，这是一个电桥电路，由于4321,R R R R ==处于电桥平衡，故开关闭合与打开时的等效电阻相等。

Ω=++=++=5.1)21//()21()//()(4231R R R R R ab
(d)图中节点1,1'同电位（电桥平衡），所以11'-间跨接电阻2R 可以拿去（也可以用短路线替代），故
Ω=++=++=5.01//)11//()11(//)//()(12121R R R R R R ab
(e)图是一个对称的电路。

解法一：由于结点1与1'，2与2'等电位，结点3,3,3'''等电位，可以分别把等电位点短接，电路如图(e1)所示，则
Ω==+⨯=323)42(2R R R R ab
解法二：将电路从中心点断开（因断开点间的连线没有电流）如图(e2)所示。

则 Ω==+=3232)2//2(2R R R R R ab
解法三：此题也可根据网络结构的特点，令各支路电流如图(e3)所示，则左上角的网孔回路方程为
1222Ri Ri =
故 12i i =
由结点①的KCL 方程
1212225.0i i i i i ==+=
得
i i i 4112==
由此得端口电压Ri
i
R
i
R
i
R
u
ab2
3
5.0
4
1
2
5.0=
⨯
+
⨯
+
⨯
=
所以Ω
=
=
=3
2
3R
i
u
R ab
ab
(f)图中(1,1,2)
ΩΩΩ和(2,2,1)
ΩΩΩ构成两个Y形连接，分别将两个Y形转化成等值的△形连接，如图(f1)和(f2)所示。

等值△形的电阻分别为
Ω
=
'
=
'
Ω
=
⨯
+
+
=
'
Ω
=
⨯
+
+
=
'
Ω
=
=
Ω
=
⨯
+
+
=
Ω
=
⨯
+
+
=
4
4
2
2
1
2
1
8
1
2
2
2
2
5
5
)
1
2
1
2
1(
5.2
)
2
1
1
1
1(
2
3
2
1
2
3
2
1
R
R
R
R
R
R
R
R
并接两个∆形，最后得图(f3)所示的等效电路，所以
[]
[]
221133
2//(//)////(//)
2//(5//4) 2.5//8//(5//4)
204020
// 1.269
19219
ab
R R R R R R R
'''
=+
=+
⎡⎤
=+=Ω
⎢⎥
⎣⎦
(g)图是一个对称电路。

解法一：由对称性可知，节点1,1,1'''等电位，节点2,2,2'''等电位，连接等电位点，得图(g1)所示电路。

则
Ω==++=667.165)363(R R R R R ab
解法二：根据电路的结构特点，得各支路电流的分布如图(g2)所示。

由此得端口电压
R i R i R i R i u ab ⨯=⨯+⨯+⨯=65316131
所以
Ω===667.165R i u R ab ab
注：本题入端电阻的计算过程说明，判别电路中电阻的串并联关系是分析混联电路的关键。

一般应掌握以下几点
（1）根据电压、电流关系判断。

若流经两电阻的电流是同一电流，则为串联；若两电阻上承受的是同一电压，就是并联。

注意不要被电路中的一些短接线所迷惑，对短接线可以做压缩或伸长处理。

（2）根据电路的结构特点，如对称性、电桥平衡等，找出等电位点，连接或断开等电位点之间的支路，把电路变换成简单的并联形式。

（3）应用Y ，∆结构互换把电路转化成简单的串并联形式，再加以计算分析。

但要明确，Y ，∆形结构互换是多端子结构等效，除正确使用变换公式计算各阻值之外，务必正确连接各对应端子，更应注意不要把本是串并联的问题看做Y, ∆结构进行变换等效，那样会使问题的计算更加复杂化。

（4）当电路结构比较复杂时，可以根据电路的结构特点，设定电路中的支路电流，通过一些网孔回路方程和结点方程确定支路电流分布系数，然后求出断口电压和电流的比值，得出等效电阻。

2-5 在图(a)电路中，Ω=Ω=Ω===2,6,12,6,2432121R R R V u V u s s 。

图(b)为经电源变换后的等效电路。

（1）求等效电路的s i 和R ；
（2）根据等效电路求3R 中电流和消耗功率；
（3）分别在图(a),(b)中求出2,1R R 及R 消耗的功率；
（4）试问21,s s u u 发出的功率是否等于s i 发出的功率？21,R R 消耗的功率是否等于R 消耗的功率？为什么？
解：（1）利用电源的等效变换，图(a)中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。

等效后的电路如题解2-5图所示，其中
A R u i s s 21224111=== A R u i s s 166222===
对题解2-5图电路进一步简化得图(b)所示电路，故
A i i i s s s 31221=+=+=
Ω=+⨯==4612612//21R R R
（2）由图(b)可解得三条并联支路的端电压
V i R R u s 432424)//(3=⨯+⨯=⨯=
所以3R 的电流和消耗的功率分别为
W i R P A R u i 82222
42233333=⨯=====
（3）根据KVL ，图(a)电路中21,R R 两端的电压分别为
V u u u V
u u u s s 246204242211=-=-==-=-=
则21,R R 消耗的功率分别为 W R u P W R u P 326)2(33.333
10012)20(2222221211====== (b)图中R 消耗的功率 W R u P 44422===
（4）(a)图中21s s u u 和发出的功率分别为
W R u u P s s u 401220241111=⨯=⨯=
W R u u P s s u 26262222=⨯=⨯= (b)图中s i 发出功率 W
i u P s s i 1234=⨯=⨯= 显然 21s u s u s i P P P +≠
由（3）的解可知 21P P P +≠
以上结果表明，等效电源发出的功率一般并不等于原电路中所有电源发出的功率之和；等效电阻消耗的功率一般也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和。

这充分说明，电路的“等效”概念仅仅指对外电路等效，对内部电路（变换的电路）则不等效。

2-6 对图示电桥电路，应用∆-Y 等效变换求：（1）对角线电压U ；（2）电压ab U 。

解法一：把(10,10,5)ΩΩΩ构成的∆形等效变换为Y 形，如题解图(a)所示，其中各电阻值为：
Ω=++⨯=45101010101R
Ω=++⨯=2510105102R Ω=++⨯=2510105103R
由于两条并接支路的电阻相等，因此得电流
A I I 5.22521===
应用KVL 得电压 V U 55.245.26=⨯-⨯=
又因入端电阻 Ω=++++=30242)26//()44(ab R
所以 V R U ab ab 1503055=⨯=⨯=
解法二：把(4,10,10)ΩΩΩ构成的Y 形等效变换为∆形，如题解图(b)所示，其中各电阻值为
Ω==⨯+⨯+⨯=181018010104101010413R
Ω==⨯+⨯+⨯=181018010104101010412R
Ω==45418023R
把图(b)等效为图(c)，应用电阻并联分流公式得电流
A I 3101895182=+⨯= 由此得图(b)中Ω6电阻中的电流
A I 5.2410618310
182==+⨯='
所以原图中Ω4电阻中的电流为A 5.25.25=-，故电压
V U 55.245.26=⨯-⨯=
由图(c)得 Ω=+=3024)9//18(ab R
V R U ab ab 1503055=⨯=⨯=
注：本题也可把(4,10,6)ΩΩΩ构成的∆形变换为 Y 形，或把(6,10,5)ΩΩΩ构成的Y 形变换为∆形。

这说明一道题中∆-Y 变换方式可以有多种，但显然，变换方式选择得当，将使等效电阻值和待求量的计算简便，如本题解法一显然比解法二简便。

2-7 图示为由桥T 电路构成的衰减器。

（1）试证明当L R R R ==12时，L ab
R R =，且有5.0=in o u ； （2）试证明当22121232L L R R R R R -=时，L ab R R =，并求此时电压比in o
u u 。

解：（1）当L R R R ==12时电路为一平衡电桥，可等效为题解图(a)所示电路，所以
L L ab R R R R R R =++=)//()(221
in o u u 21= 即 5.0=in o u u
（2）把由1R 构成的Y 形电路等效变换为∆形电路，原电路等效为题解图(b)。

其中
13R R =，因为 22121122121122121222296332332//L L L L L L R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R -=+-⨯-=+=='
L L L L R R R R R R R +=='1133//
L L L L L L L R R R R R R R R R R R R R R -=++-='+'1111221212333396 所以
L L L L L L L ab R R R R R R R R R R R R R R R R R R ==+-⨯-='+'=2121111111299333333//)(
L
L in L L L L in L L in o R R R R u R R R R R R R R u R R R u u +-=+⨯-='⨯'+'=1111112333333
L L in o R R R R u u +-=1133
2-8 在图(a)中，V u V u V u V u s s s s 50,20,20,455421====；
Ω==1531R R ，Ω=Ω=Ω=8,50,20542R R R ；在图(b)中，
A i V u V u s s s 8,30,20251===，
Ω=Ω=Ω==10,10,5,175314R R R A i s 。

利用电源的等效变换求图(a)和图(b)中电压ab u 。

解(a)：利用电源的等效变换，将(a)图等效为题解图
(a1)，(a2)。

其中
A R u i s s 31545111=== A R u i s s 12020222=== A R u i s s 4.05020444=== A R u i s s 25.6850555=== 把所有的电流源合并，得
A i i i i i s s s s s 85.925.64.0135421=+-+=+-+=
把所有电阻并联，有
Ω===1976008//50//15//20//15////////54321R R R R R R 所以 V R i u s ab 3019760085.9=⨯=⨯=
解(b)：图(b)可以等效变换为题解图(b1)，(b2)
其中
A R u i s s 4520111=== A R u i s s 31030555===
等效电流源为
A i i i i i s s s s s
2317845421-=+-+=+-+=
等效电阻为
Ω===5.210//10//5////531R R R R
所以 V R i u s ab 55.22-=⨯-=⨯= 注：应用电源等效互换分析电路问题时要注意，等效变换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻的并联模型互换，其互换关系为：在量值上满足s s u Ri =或s
s u i R =，在方向上有s i 的参考方向由s u 的负极指向正极。

这种等效是对模型输出端子上的电流和电压等效。

需要明确理想电压源与理想电流源之间不能互换。

2-9 利用电源的等效变换，求图示电路的电流i 。

解：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a)，(b)和(c)，所以电流
A
i
i
A
i
125
.0
2
1
25
.0
10
5.2
1
1
=
=
=
=
2-10 利用电源的等效变换，求图示电路中电压比s
o
u
u。

已知Ω
=
=
Ω
=
=1
,
2
4
3
2
1
R
R
R
R。

解法一：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a)所示的单回路电路，对回路列写KVL方程，有
s
u
u
R
i
R
R
R
2
1
2
)
(
3
4
4
3
12
=
+
+
+
把i R
u
3
3
=带入上式，则
s
s
s
u
u
R
R
R
R
R
u
i
10
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
3
4
4
3
12
=
+
+
+
=
+
+
+
=
所以输出电压
s
o u i R R R u R i R u 103)2(2344344=+=+= 即 3
.0103==s o
u u
解法二：因为受控电流源的电流为12223333⨯=⨯=i R i u ，即受控电流源的控制量可以改为3i 。

原电路可以等效为图(b)所示的单结点电路，则
3334443)2(i i i R i R u o =+== 即
3
3o
u i =
又因 24
13o
s u
u i -= 即 24
13o
s o u
u u -=
所以 s o u u 3.0=
3.0=s o
u u
注：本题说明，当受控电压源与电阻串联或受控电流源与电阻并联时，均可仿效独立电源的等效方法进行电源互换等效。

需要注意的是，控制量所在的支路不要变掉发，若要变掉的话，注意控制量的改变，不要丢失了控制量。

2-11 图示电路中124312,R R R R R ===，CCVS 的电压114i R u c =，利
用电源的等效变换求电压10u 。

解：原电路可等效变换为题解2-11图所示电路。

图中 1112432//2//)(R R R R R R R ==+= 对回路列KVL 方程，有 s c
u R R u Ri i R =+
+)(2
111
即
s
u R R i R i R =⨯+
11
1
111242 1
14R u i s =
所以电压
s s s s s u u u u i R u u 75.043
41110==-
=-=
2-12 试求图(a)和(b)的输入电阻ab R 。

解(a)：在(a)图的a ，b 端子间加电压源u ，并设电流I 如题解2-12图(a)所示，显然有
i R R R i R i R i R i R u i R u )()(121112112μ-+=+μ-=+μ-= 故得a ，b 端的输入电阻
1
21R R R i u R ab μ-+==
解(b)：在(b) 图的a ，b 端子间加电压源u ，如题解图(b)所示，由KVL 和KCL 可得电压
[]12111211)1()(i R R i i R i R u β++=β++=
所以a ，b
端的输入电阻 )1(211
β++==R R i u R ab
注：不含独立源的一端口电路的输入电阻（或输出电阻）定义为端口电压和端口电流的比值，即
in u
R i
=。

在求输入电
阻时，（1）对仅含电阻的二端电路，常用简便的电阻串联、
并联和Y -∆变换等方法来求；（2）对含有受控源的二端电阻电路，则必须按定义来求，即在端子间加电压源u （如本题的求解），亦可加电流源i ，来求得端口电压和电流的比值。

2-13 试求图(a)和(b)的输入电阻in R 。

解(a)：在(a)图的1,1'端子间加电压源u ，设电流i ，如题解2-13图(a)所示。

根据KCL ，有
211=-+β+R u i i i
有因
1
1R u
i -=
由此可得 0
))(1(2
1=-+-β+R u i R u
即
i u R R =+β+)1
1(
2
1
故输入电阻
)1(212
1β++=
=R R R R i u R in 解(b)：在(b)图的1,1'端子间加电压源u ，设端口电流i 如题解图(b)所示。

根据KVL ，显然有
u u =1
u i R u i R u μ+=μ+=11111 由
KCL ，得
3
1R u
i i -=
联立求解以上式子，可得 u
R u i R u μ+-=)(3
1
即
i R u R R 13
1
)1(=+
μ-
故输入电阻 1
33
13
11)1(1R R R R R R R i
u R in +μ-=
+
μ-=
=
2-14 图示电路中全部电阻均为Ω1，求输入电阻in R 。

解：a ，b 端右边的电阻电路是一平衡电桥，故可拿去c ，d 间联接的电阻，然后利用电阻串、并联和电源等效变换把
原电路依次等效为题解2-14图(a),(b),(c),(d)。

在图(d)的端口加电压源u ，则有
i
i i i u 4.0525658==-= 即电路的输入电阻 Ω
==4.0i u R in。