工程力学第七章平面弯曲

4．确定关键点上的
O 9a/ 4
（-）
qa
7qa/ 4
x 剪力值，并将其标在 Q-x中。
M
81qa2 /32
5．确定关键点上的
（+）
qa 2
弯矩值，并将其标在
O
x M-x中。
44
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
MA A RA a
qa/2 Q
M qa2/2
（-）
（+）
qa
例题7-10试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
（5）集中力偶使弯矩图突变。（突变值等于集中力偶 矩的值）
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
微分关系绘制 Q 图与 M 图的方法：
根据载荷及约束力的作用位置，确定关键点。 应用截面法确定关键点上的剪力和弯矩数值。
建立Q一x和M一x坐标系，并在相应的坐标系
中标出关键点上的剪力和弯矩值。 应用微分关系确定各段的剪力图和弯矩图的 形状，进而画出剪力图与弯矩图。
dM Q , dx
d 2M dx 2
q
36
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
dQ dx
q
,
dM dx
Q
,
d 2M dx2
q
（1） q = 0 时: Q =常数，Q图为一水平线； M 为 x 的一次函数，M图是一条斜直线。
（计算关键点连直线）
（2） q =常数时： Q 为 x 的一次函数， Q图是一条斜直线； M 为 x的二次函数， M图是一条二次曲线。
§7-1 概述
火车轮轴
5
§7-1 概述
弯曲变形
6
§7-1 概述
加工变形
7
纯弯曲
§7-1 概述
8
§7-1 概述
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
9
§7-1 概述
常见弯曲构件截面
--具有(纵向)对称面
10
§7-1 概述
平面弯曲 planar bending
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
35
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
(Relationships between load, shear force and bending moment)
Q(x)
Q(x)+dQ(x)
FY 0 Q qdxQ dQ 0
dQ/dxq
MC
0
M Q dxqdxdxM dM 0
2
dM/dxQ
dQ q , dx
(Shearing force & bending moment diagrams)
例题7-2
q
Q x ＝ qx0 x l
x
M x ＝ q 2 /2 x0 x l
l
依方程画出剪力图和弯矩图
ql
由剪力图、弯矩图可见,
x 最大剪力和最大弯矩:
ql 2 / 2
ql2 / 8
x
Qma＝ x ql Mm＝ axq2l/2
RB
RAq60L; RBq30L
○x
q0L 3
② Write out the internalforce equations
Q(x)6qL 0 (L23x2)
x
M(x)q60Lx(L2x2)
③ Plot the internal-force
diagrams
34
画剪力图和弯矩图基本步骤
1 确定约束反力 2 分段列剪力方程和弯矩方程（截， 留，代，平） 3 画剪力图和弯矩图
(+)
46
找出下列Q、M图中的错误点
m qa2
q
a
a
qa
qa 2 2
A
3 qa 2
3 qa 2
m qa2
B C
qa
2
2a
a
qa 2
qa 2
qa 2
2
qa 2
2
qa 2
47
q P=qa
A
A B
q B
a
a
a
a
4a
a
qa
2qa
2qa
qa 11 qa 2 8
qa 2
qa
qa
2 qa 2 3
qa 2
找出Q图和M图的错误
+
求内力方法： 截面法
_
20
剪力和弯矩
例7-1 求图示简支
梁E 截面的内力.
解： 1. 确定支反力
Y 0
YA
YAYB2F0
MA0
Y B3 a F a 2 F a 0
F YB 3
YA
5F 3
例题7-1 YB
21
剪力和弯矩
2. 用截面法求内力
Y 0
YA2FQ0
Q F / 3
YA
ME 0
2Fa2MYA32a0
2．确定关键点
由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为关键点，约束力RB右侧的截面，以及集中力qa左 侧的截面，也都是关键点。
43
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
q
A
C
D
B
3．建立坐标系
9 qa 4
RA
4a
Q 9qa/ 4
a qa
RB＝ 3 qa 4
建 立 Q-x 和 M-x 坐 标系
（+）
2 qa 2 3
48
要求
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力; 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定;
3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值;
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，
正确绘制剪力图和弯矩图
49
作业 7-1 b d 7-2 c e f
50
再见
30
a
b
M0
例题7-4
A
C
Q1 M0/l Q2 M0/l
(0xa)
x1
(axl) RA
l
B x2
RB
M1M0x/l (0xa) Q
M2
M0 l
xM0
(axl)
M0 / l
集中力偶作用处，剪力图无变化
3画剪力图和弯矩图
M
Mb 0
max
l
M
M0 a / l
M0 b/l
集中力偶作用处，弯矩图有突变
M3Fa/2
YA
Q M
例题7-1 YB
22
Q
剪力和弯矩
Q
O
ME ME
O
Q
YA
YB
保留右边?
Y 0
QYB 0 QYBF/3
ME 0
YB
3aFaM0 2
M3Fa/2
大小及符号与保留左边完全相同!
23
剪力图和弯矩图
(Shearing force & bending moment diagrams)
例题7-2
39
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
P
a
b
A
C
RA
l
Q Pb/l
Pa / l
M
Pab/l
例 7-7 利用微分关系画Q 图和M图。 B 解：1．确定约束力
RB R AP/lb , R BP/la
2．确定关键点
x 3．截面法确定关键点上的 剪力和弯矩值
4．利用微分关系连图
x
40
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
内侧截面均为关键点。即A、C、D、E、F、B截面。
41
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
1kN.m
A
CD EF B
3．建立坐标系
0.89 kN= RA
Q (kN)
O
0.89
2kN
建立 Q-x 和 M-x 坐标系
1.5m
1.5m
1.5m RB＝1.11 kN
1.11
(+)
x (-)
4．确定关键点上的剪力 和弯矩值，并将其标在 Q-x和 M-x 坐标系中。
M
0
B
RB
()
M0
33
Example7-6: Determine the internal-force equations and plot the
internal-force diagrams of the beam.
L RA
q0L2 6
Q(x) ⊕
3 3
L
⊕
M(x)
3 q0 L2 27
q0 Solution: ① Determine the reactions of the supports
M (kN.m)
5．根据微分关系连图
O
(-)
(-)
0.335
x 6．校核规律
1.335
1.67
42
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
A
RA
q
例题7-9 画出梁Q图和M图。
C
D
B
解：1．确定约束力
4a
a qa
RB
根据梁的整体平衡，由 M A ＝ 0， M B ＝ 0
RA＝ 9 4q,aRB＝ 4 3qa
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
q
解：任选一截面x，写出
Mx
剪来自百度文库方程和弯矩方程:
x
Y0 qxQ(x)0
Qx
MC 0 M(x)qx x 0
2
剪力方程: Q x ＝ qx0 x l
弯矩方程: M x ＝ q x 2/2 0 x l
24
Q
M
4
剪力图和弯矩图
D
a
B
C 解：1．确定约束力
a
RB
从铰处将梁截开
qa
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA RA
QDy
q
QDy RB
QDyqa/2 RB3qa/2
RA qa/2
MAqa2/2
45
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
q
l
3 ql
2
8
3ql
Q
8
(+)
l 2
ql
8
(-)
ql
8
9ql2
ql2
M 128
16
（附加中间的关键点值，用三点连二次曲线）
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
dQ dx
q
,
dM dx
Q
,
d 2M dx2
q
（3）若均布载荷向下： Q图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线； M图曲线的开口向下(上凸二次曲线) ，具有极大值 ，极值点位于剪力Q 为零的截面。
（若q向上？）
（4）集中力使剪力图突变。（突变值等于集中力）
M 弯矩，垂直于 横截面的内力系的 YB 合力偶矩
19
剪力和弯矩
(shearing force and bending moment)
M
M
YA
Q
Q
YB
剪力符号： 截面上的剪力对保 留段任意点的矩为顺时针转向时，
+
_
剪力为正；反之为负。
左上右下为正；反之为负
弯矩符号： 截面上的弯矩使 得梁呈凹形为正；反之为负。
RA M0 /l
A
M0
M2
C
2 列剪力方程和弯矩方程
x
RA
Q2
29
例题7-4
AC段： RAQ1 0 Q1 M0/l
(0xa)
M1RAx0
M1M0x/l (0xa)
CB段： RAQ2 0 Q2 M0/l
(axl)
A
M1
x
RA Q1
M0
M2
A
C
x
RA Q2
M 2M 0RAx0
M2
M0 l
xM0
(axl)
YB
beam)
悬臂梁
(Cantilever
beam)
18
梁的内力—剪力和弯矩
(shearing force and bending moment)
XA
YA M
YA
Q
M
Q
由整体求出XA=0 及YA，YB. YB
Y 0 YAF1Q0
MC 0 M F 1(xa)Y A x0
Q 剪力，平行于横 截面的内力的合力
31
剪力图和弯矩图shearing force and bending moment diagram
例题7-5
例 7-5图所示为一简支 梁，在中心点C受集中力 Ｐ的作用，在Ｂ端集中 A
力矩 Ｍ０，作此梁的弯矩
图。
RA
1 求支座反力
P
C
x
x
l/2
l/2
M0
B
RB
由MB0和MA0可得 RAM l0 P 2, RBM l0 P 2
2 列弯矩方程 32
剪力图和弯矩图
例题7-5
AC段:
P
M1
RAx
M0 l
x P x 2
A
CB 段 :
RA
C
x
x
l/2
l/2
M
2
RAx
P(
x
l 2
)
M 0 x P x Px Pl
l
2
2
M 0 x P (l x )
l
2
集中力使弯矩图折角
M
Pl/4-M0/2
(+)
3 画弯矩图
集中力偶使弯矩图突变
RB
Pb/l
Q
集中力使剪力图突变
Pa / l
集中力使弯矩图有折角 M
Pab/l
x x 28
例 7-4 简支梁，在C点受集中力偶
Ｍ０的作用, 画出Q 图和M 图.
例题7-4
a
b
M0
1 求支座反力
A
C
x1
B x2
MA 0 M0RBl0 RA
l
RB
RBM0/l
MB 0 M0RAl0
A
M1
x
RA Q1
11
§7-2 弯曲内力 Internal forces in bending
梁的载荷与支座
•集中载荷 •分布载荷 •集中力偶
固定铰支座(Pin support)
活动铰支座(Roller support)
固定端(Clamped support) -Fixed end
12
2
梁的载荷与支座 Load and support of a beam
1kN.m
A CD EF B
RA
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
RB
例题7-8 简支梁受力的 大小和方向如图示。
试画出其剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力 根据力矩平衡方程
M A ＝ 0， M B ＝ 0
RA＝0.89 kN , RB＝1.11 kN
2．确定关键点 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
x1 RA
Q1
M1Pb1/xl (0 x1 a)
26
例题7-3
CB段：
P
M2
Y 0
Q2
Pa l
(ax2l)
A
C
x2
RA
Q2
MC 0
M 2 P (x 2 a ) R A x 2 0 (ax2l)
M2
Pb l
(l
x2)
(ax2l)
27
例题7-3
P
a
b
A
C
B
3. 画剪力图和弯矩图
RA
x1 x2 l
25
例 7-3 图示简支梁C点受集中力作用,画出Q 图和M 图.
P
a
b
A
C
RA
x1 x2 l
解：1．确定约束力
B
Y0 , M A0
RB
R AP/lb , R BP/la
2. 分段列剪力方程和弯矩方程
AC段: Y 0 RAQ10
Q1Pb/l (0 < x1 < a)
MC 0 M1RAx10
M1 A
13
梁的载荷与支座
火车轮轴简化
?
14
梁的载荷与支座
15
梁的载荷与支座
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
16
梁的载荷与支座
非均匀分布载荷
17
梁的载荷与支座
静定梁的基本形式
XA
YA XA
YA XA
MA YA
简支梁
(Simply YB supported beam)
外伸梁
(Overhanging