概率论边缘分布

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定理:随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y)
定理:设(X,Y)是二维连续型随机变量,X与Y独立 的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理. 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律 为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...,则X与Y独立的充分
(X,Y) pij
W=X+Y
V=max(X, Y)
U=min(X, Y)
(0,0) 2 q
(0,1) pq
(1,0) pq
0
0 0 0 1 0
1
1 0
1
1 0 2 0
(1,1) 2 p 2 1 1
W V 0 1
q
0
2
2 pq
p
2
的分布函数为F(x1,x2,...xn, y1,y2,…ym). 如果 F(x1,x2,...xn, y1,y2,…ym) = FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym)
则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机
变量(Y1,Y2,…Ym)独立。
定理 设(X1,,X2, …, Xn )与(Y1, Y2,…, Ym )相互 独立,则Xi (i=1, 2, …, n))与Yi (i=1, 2, …, m)相互独立;又若h, g是连续函数,则 h(X1,,X2, …, Xn) 与g(Y1, Y2,…, Ym )相互独立.
0 3/5
故关于X和Y的分布律分别为: X 1 0 Y 1 P 2/5 3/5 P 2/5
三、边缘密度函数 设(X, Y)~f (x, y), (x, y)R2, 则称
f X ( x) f ( x, y)dy


为(X, Y)关于X的边缘密度函数;
同理,称
fY ( y) f ( x, y)dx
0.15 0.15 a b 1 a b 0.7
由独立性
0.15 (a 0.15) 0.3
a 0.35, b 0.35
例5.甲乙约定8:009:00在某地 会面。设两人都随机地在这期 间的任一时刻到达,先到者最 多等待15分钟过时不候。求两 人能见面的概率。 解:
i 1
j1
为(X, Y)关于Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解:
x\y 1 0 p.j
1 0 pi. 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 2/5 3/5
设(X,Y)的概率密度为 cy 0 x 1,0 y x f ( x, y) others 0 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度. 答:c 6
x 6 ydy 3 x 2 f X ( x) 0 0 0 x 1 others
F ( x1 ,...xn ) FX1 ( x1 )FX 2 ( x2 )....FX n ( xn )
则称X1,X2,...Xn 相互独立,或称(X1,X2,...Xn)是独立的 。
对于离散型随机变量的情形,若对任意整数 i1, i2, …, in及实数
xi1 ,xi2 ,...,xin 有
=pk , …
(X,Y)
pij Z=g(X,Y)
(x1,y1)
p11
(x1,y2)
p12

(xi,yj)
pij g(xi,yj)
g(x1,y1) g(x1,y2)
EX 设随机变量X与Y独立,且均服从0-1 分 布,其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W=X+Y的分布律; (2) 求V=max(X, Y)的分布律; (3) 求U=min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
0 x y 0 y x 其它
二、边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 (p80) (X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,i, j=1, 2, … 则称 P{X=xi}=pi.= pij ,i=1, 2, …
为(X, Y)关于X的边缘分布律;
P{Y= yj}=p.j= pij ,j=1, 2, …
SG 1 P{ X Y 15} 2 dxdy 2 60 60 G
1 2 SG 60 2 45 1575 2
2
1575 P{ X Y 15} 0.4375 2 60
五.n维随机变量的边缘分布与独立性 定义. 设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为 F(x1,x2,...,xn), (X1,X2,...,Xn)的k(1k<n)维边缘 分布函数就随之确定,如关于(X1, X2)的 边缘分布函数是 FX1,X2(x1,x2,)=F(x1,x2,,...) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布, 求关于X的和关于Y的边缘 概率密度
1 dy 1 x 0 x 1 f X ( x ) dy 0 x 1 x others 0
x=-y
x=y
y dx 0 y 1 fY ( y ) y 0 others
必要条件是对任意i,j,Pi,j=Pi.Pj 。
由上述定理可知,要判断两个随机变量X 与Y的独立性,只需求出它们各自的边缘 分布,再看是否对(X,Y)的每一对可能取值 点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可
EX:判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立 例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为 x 1 2 0 0.15 0.15 1 a b 且知X与Y独立,求a、b的值。 解:由归一性
P{Xi1 xi1 ,...,Xin xin } P{ X i1 xi1 }...P{ X in xin }
则称离散型随机变量X1, X2, …, Xn相互独立。 设X1,X2,…,Xn为n 个连续型随机变量,若 对任意的(x1, x2, …, xn)Rn,
Байду номын сангаас
f (x1, x2, …, xn)=fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)
维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些)低维分量的分布。
例1.已知(X,Y)的分布函数为
1 e x xe y F ( x, y ) 1 e y ye y 0
求FX(x)与FY(y)。
1 e x 解:FX(x)=F(x,)= 0 1 e y ye y FY(y)=F(,y)= 0 x0 x0 y0 y0
(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度
解:(1)由归一性

dx cdy 1 c 6
0 x2
1
x
0 x 0 or x 1 (2) f X ( x ) f ( x, y )dy x
x2
6dy 6( x x 2 ) 0 x 1
概率与统计
边缘分布与独立性
2.5.边缘分布与独立性
一、边缘分布函数 FX(x)=F (x, +)= ylim F( x , y ) =P{Xx} 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数; FY(y)=F (+, y)=
x
lim F( x , y ) =P{Yy} 称为二
1 6 ydx 6 y (1 y ) 0 y 1 fY ( y ) y 0 others
四、随机变量的相互独立性
定义 称随机变量X与Y独立,如果对任意实数
a<b,c<d,有
p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 量X与Y独立。 即 事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立,则称随机变
几乎处处成立,则称X1,X2,…,Xn相互独立。
定义 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为 FX(x1,x2,...xn);m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的 分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym
组成的n+m维随机变量(X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym)
2.7(续) 两个随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布律
设二维离散型随机变量(X,Y),
(X, Y)~P(X=xi, Y=yj)=pij ,i, j=1, 2, …
则 Z=g(X, Y)~P{Z=zk}=
k=1, 2, … 或
ij i ,k :g ( xi , y j ) zk
p


为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1,
12)的密度函数,而fY(y)是N(2, 22)的密度函数,故
二维正态分布的边缘分布也是正态分布。
例3.设(X,Y)的概率密度为
c x 2 y x f ( x, y ) others 0
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