函数的凸性,拐点与渐近线

y 12x3 12x2,

36x(
x

2 3
)
2)
求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 ,
x2

2 3
,
对应
y1
(0,1)
1,
y(232
, 12121717)
3) 列表判别
2 3
x (,0)
0
(0,
2 3
)
2 3
(
2 3
,

)
y 0 0
y
下凸 1
凸
11 27
y x2 1
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x
x)
b lim[ f (x) ax] x
(或x )
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例求
f (x) 2(x 2)(x 3) 渐近线 x 1
解 lim f (x) x 1 是曲线的垂直渐近线 . x1
又 lim f (x) lim 2(x 2)(x 3) 2,
高等数学(经济类) (第二版)
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
与机械工业出版社版配套
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第三章
一元函数微分学
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
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若
(ax b)
(或x )
(ax b)
lim x [ f (x) a b ] 0
x
x
x
lim[ f (x) a b ] 0
x
x
x
斜渐近线 y ax b.
a lim[ f (x) b ]
x
x
x
a lim f (x)
(或
x
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义3-6 设函数 f x 在区间 a,b内可导， 如果曲线 y f x
上任一点处的切线都在曲线的上方,则称该曲线为向上凸的,
称区间 a,b 为曲线的上凸区间; 如果曲线 y f x
上任一点处的切线都在曲线的下方,则称该曲线为向下凸的,
时, 动点 与某一直线 的距离趋于 0, 则称此直线 为
曲线的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
渐近线分水平渐近线、垂直渐近线 和斜渐近线
L PN
o
x
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水平渐近线与垂直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
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斜渐近线
下凸
故该曲线在 (,0) 及 (32 , ) 下凸, 在(0, 32)上
上凸 ,
点
(
0
,
1
)
及
(
2 3
,
1217)
均为拐点.
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y
3.12.2 曲线的渐近线
由平面解析几何知,双曲线
ox
有渐近线
x y0 ab
定义3-8 若曲线 上的一动点沿着曲线无限地远离原点
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
3
所以有垂直渐近线 x 3 及 x 1
又因
a lim x
f (x) x

lim
x
x2
x2 2x

3
b

lim [
x
f
(
x)
x]

lim
x
2x x2
2 3x 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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3.12 曲线的凸性、拐点与渐近线
3.12.1 曲线的凸性与拐点 3.12.2 曲线的渐近线
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3.12.1 曲线的凸性与拐点
y
y f (x) B
称区间 a,b 为曲线的下凸区间.
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定义3-7 连续曲线上向上凸与向下凸弧线的分界点称 为拐点 .
y
Baidu Nhomakorabea
拐点要写成坐标形式 a, f a
a 定o义3-6
设函数
f x
x
定理3-20(凹凸判定法)
设函数
(1) 在 I 内 (2) 在 I 内
在区间I 上有二阶导数 则 在 I 内图形是下凸的 ; 则 在 I 内图形是上凸的 .
的一个拐点.
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例 求曲线
的拐点.
2
5
解:
y

1 3
x
3,
y


2 9
x
3
x (,0) 0 (0, )
y
不存在
y凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
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例 求曲线
的凹凸区间及拐点.
解 1) 求 y

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例 判断曲线
的凸性.
y
解: y 4x3,
故曲线
在
上是下凸的. o x
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线
x x
x x(x 1)
lim[2(x 2)(x 3) 2x]
x
x 1
lim 2(x 2)(x 3) 2x(x 1) 4,
x
x 1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
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例 求曲线
的渐近线 .
解 y