西南财经大学高等数学期末考卷及解答

西南财经大学本科期末考试试卷

课程名称：《高等数学》下册

担任教师：涂晓青等

考试学期：2010－ 2011学年第二学期

专业：学号：

年级：姓名：

考试时间：2009年 6 月日（星期）午： -- ：

题号一二三四五六七八总分阅卷

人

成

绩

出题教师必填：1、考试类型：闭卷。

2、本套试题共道大题，共页，完卷时间分钟。

3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：

计算器[ ] 字典[ ] 等

（请在下划线上填上具体数字或内容，所选[ ]内打钩）

考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。

2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页

及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。

3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。

4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。

5、严格遵守考场纪律。

一、填空题（每小题2分，共20分）：

1. 微分方程230y y y '''--=的通解为 .

2. ,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离 .

3．过点(1,1,1)M ，且垂直向量2n i j k =+-r r

r r 的平面为 ．

4. 设()()2

2

2

2,x

y f x y x y e x

y ++-=-，则f

= .

5. 若x y y x f =),(，且0>y ，则),1(e f xy

''= . 6. 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3

1=

n ρ，则)

3,2,1(n u

∂∂= .

7. 二次积分2

11

y x

dx e dy =⎰⎰ .

8. 设(,)f x y 连续，且(,)2(,)D

f x y xy f u v dudv =+⎰⎰, 其中22{(,)2}D x y x y x =+≤，

则(,)f x y ＝ .

9．已知椭圆22

143

x y +=的周长为a , 则32(34)x y ds +⎰Ñ＝ . 10.将函数()2x f x e -=展为x 的幂级数为2x e -= .

二、选择题（每小题2分，共10分）：

1. 方程()dy x xydx dy dx x y 232+=+-是（ ）. ① 变量可分离方程 ② 齐次方程 ③ 一阶线性方程 ④ 以上均不正确 2．下列曲面中，( ) 是平行x 轴的柱面．

① 223x y += ② 22x z y =+ ③ 22z x -= ④ 22231y z +=

3．设方程xyz +=(,)z z x y =，则(,)z x y 在点(1,0,1)-处的全微分dz =（ ）.

① dx - ② dx +

③ dx -- ④ dx -+

4．1

2200

()dx f x y dy +=⎰( )．

(1) 1

2

2()f r dr π⎰ ②

1

()8rf r dr π

⎰ ③ 1

202()rf r dr π⎰ ④ 1220

()8f r dr π⎰ 5．下列关于函数的结论中正确是( )．

① 驻点一定是可微分极值点 ② 可微分极值点一定是驻点 ③ 有极大值一定有最大值 ④ 有最大值一定有极大值

二、 解答题（每小题7分，共56分）： 1．求微分方程x

y y

y -='的通解.

2．求"2y y x +=-微分方程的通解.

3. 设y

x z arctan

=，求z z x y x y ∂∂+∂∂.

4. 设(,)0ax bz cy dz Φ+-=，验证1d z b z

c y a x

∂∂-=∂∂.

5．求二重积分D

，其中D 由y = x 2

，y =1 及 y 轴所围成.

6．设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，求曲线积分⎰-L

ydx xdy 2的值.

7. 求幂级数∑

∞

=+11

n n

n x 的收敛区间.

8．求幂级数21

1(1)(1)2n

n

n x x n ∞

=+-<∑的和函数f (x ).

四、应用题（每小题8分，共8分）：

某厂生产甲、乙两种型号的汽车，当日产量分别为x 辆、y 辆时，总成本函数

2

22

1),(y xy x y x C +

-=（万元） 总收入函数为y x y x R 24),(+=，且两种汽车日产量共19辆。问各生产多少辆时，总利润最多？

四、证明题（每小题6分，共6分）：

证明：22

2222, 0

(,) 0, 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在点(0,0) 处不连续但偏导数存在.

2008级《高等数学》期末试题参考解答

一、填空题（每小题2分，共20分）：

1.()为任意常数21231,C C e C e C y x x -+=.；

2..

；

3．12(1)(1)022x y z x y z -+---=+-=或 ； 4.22e ; 5. 2;

6. 33;

7. 1

(1)2e - ; 8. xy ; 9． 12a ; 10.0

(2)!n n n x n ∞

=-∑.

三、 选择题（每小题2分，共10分）：

1. ③； 2．④； 3．①； 4．④； 5．②.

四、 解答题（每小题7分，共56分）： 1．解： 将原方程化为一阶线性非齐次方程

11

=+x y

dy dx 3分 所以原方程的通解为

11

112

dy dy

y y C x e e

dy C y y -

⎡⎤⎰⎰=⋅⋅+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰. 7分

2．解：所给方程对应的齐次方程为"0y y +=

特征方程为10λ+=，特征根为i λ=± 2分 所以对应齐次方程的通解为 *12cos sin y C x C x =+ 4分

设非其次方程的特解形式为 10~

A x A y +=%y Ax = 代入原方程解的2A =- , 于是非齐次方程的一个特解为%

2y x =- 6分