常考问题3 不等式及线性规划问题

＝2y－y12＝－1y－12＋1≤1.
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(2)∵xy＝x＋2y≥2 2xy，∴( xy)2－2 2 xy≥0. ∴ xy≥2 2或 xy≤0(舍去)． ∴xy≥8.若 xy≥m－2 恒成立， 只需(xy)min≥m－2 成立即可． 即 m－2≤8，即 m≤10，∴m 的最大值为 10. 答案 (1)B (2)10
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再令
m(x) ＝ 2ln
x
＋
2 x
－
2
，
x
∈
0，12
，
则
m′(x)
＝
－
2 x2
＋
2 x
＝
－2x12－x<0，故 m(x)在0，12上为减函数，于是 m(x)>m12＝2－
2ln 2>0，从而 l′(x)>0 在0，12上恒成立，于是 l(x)在0，12上为
④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当 a＝b 时等号成立)．
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(3)最值问题：设 x，y 都为正数，则有 ①若 x＋y＝s(和为定值)，则 x＝y 时，积 xy 取得最大值s42； ②若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 p.
≥163＋2＝265. 答案 A
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[规律方法] 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的 思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标 函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比 较，避免出错，比如上题中目标函数所对应直线的斜率－ab＜0； 三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或 边界上取得．
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热点一 一元二次不等式的解法及应用
【例 1】 (1)若不等式 x2＋ax＋1≥0 对于一切 x∈0，12成立，则 a 的取值范围是
A．[0，＋∞)
B．[－2，＋∞)
( )．
C．[－52，＋∞)
D．[－3，＋∞)
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(2)(2013·安 徽 卷 ) 已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x)<0 的 解 集 为
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4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元 函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如 各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中 要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够 使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数 的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条 件，尽量避免二次使用基本不等式．
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2．基本不等式
(1)基本不等式 a2＋b2≥2ab 取等号的条件是当且仅当 a＝b.
(2)几个重要的不等式：①ab≤a＋2 b2(a，b∈R)．
②
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb(a＞0，b＞0)．
③a＋1a≥2(a＞0，当 a＝1 时等号成立)．
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另解 也可转化为：a≥－x＋1x，x∈(0，12)恒成立，利用单调性 求解． (2)依题意知 f(x)>0 的解为－1<x<12，故 0<10x<12， 解得 x<lg12＝－lg 2. 答案 (1)C (2)D
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[规律方法] 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的 正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考 虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需 要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合 对应的函数图象求解．
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3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 f(x)min>A； 若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 f(x)max<B；
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5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次 不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的 交集．线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为 y＝－abx＋bz可知bz是直线 ax＋by ＝z 在 y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情 况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
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【训练 2】 (2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线 y＝|x－1|与 y＝2 所 围成的封闭区域，则 2x－y 的最小值为________． 解析 如图，曲线 y＝|x－1|与 y＝2 所围成的封闭区域如图中 阴影部分，令 z＝2x－y，则 y＝2x－z，作直线 y＝2x，在封闭 区域内平行移动直线 y＝2x，当经过点(－1,2)时，z 取得最小值， 此时 z＝2×(－1)－2＝－4. 答案 －4
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(2)依题意，得 3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)，因此有 3xx22＋＋4yx2 y≤4，当且仅当 x＝2y 时取等号，即3xx22＋＋4y2xy的最大值是 4， 结合题意得 λ≥3xx22＋＋4y2xy，故 λ≥4，即 λ 的最小值是 4. 答案 (1)5 (2)A
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[规律方法] 在使用基本不等式求最值时，一定要注意等号成立 的条件，“一正、二定、三相等”的基本要求，在解题中 一定要检验这些条件是否能够得到满足，在一些字母系数 不为1的问题中要善于进行常数代换，这是化解使用基本不 等式时的一种常用方法．
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【训练 3】 (1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值
是________．
(2)(2013·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数 x，y 满足 3x2
＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数 λ 的最小值为
( )．
A．4
B．5
11 C. 5
7 D.2
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(2)能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)>A 成立，则等价于在区间 D 上 f(x)max>A； 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)<B 成立，则等价于在区间 D 上 f(x)min<B； (3)恰成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)>A 的解 集为 D； 若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)<B 的解 集为 D.
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审题示例(二) 不等式恒成立问题的求解
解 由题意知函数的定义域为(0，＋∞)． (1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2ln x，则 f′(x)＝1－2x，令 f′(x)>0， 得 x>2；令 f′(x)<0，得 0<x<2，故函数 f(x)的单调减区间为(0,2]； 单调增区间为(2，＋∞)．
xx<－1，或x>12
，则 f(10x)>0 的解集为

( )．
A．{x|x<－1，或 x>－lg 2}
B．{x|－1<x<－lg 2}
C．{x|x>－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
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解析 (1)设 f(x)＝x2＋ax＋1，其对称轴为 x＝－a2. 若－a2≥12，即 a≤－1 时，则 f(x)在0，12上是减函数，若满足题意 应有 f12≥0，即－52≤a≤－1. 若－a2≤0，即 a≥0 时，则 f(x)在0，12上是增函数， 又 f(0)＝1>0 成立，故 a≥0. 若 0<－a2<12，即－1<a<0，则应有 f－a2＝a42－a22＋1＝1－a42≥0 成 立，故－1<a<0.综上，有 a≥－52.
m 的最大值是________．
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解析 (1)由已知得 z＝x2－3xy＋4y2 (*)
则xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤2
xy1·4xy－3＝1，当且仅当xy＝4xy，
即 x＝2y 时取等号，把 x＝2y 代入(*)式，得 z＝2y2，所以2x＋1y－2z
【例 2】 (2012·济宁二模)设 x，y 满足约束条件x3－x－y＋y－2≥6≤0，0， x≥0，y≥0.
若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为 12，则3a＋2b的
最小值为
( )．
25 A. 6
8 B.3
11 C. 3
D．4
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解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线 ax＋by ＝z(a＞0，b＞0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0 的交点(4,6) 时，目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值 12，即 4a＋6b ＝12，即 2a＋3b＝6.所以2a＋3b＝2a＋3b·2a＋6 3b＝163＋ba＋ab
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热点三 基本不等式及其应用
【例 3】 (1)(2013·山东卷)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z
＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为
( )．
A．0
B．1
9 C.4
D．3
(2)已知 x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若 xy≥m－2 恒成立，则实数
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(2)对任意的 x∈0，12，f(x)>0 恒成立， 即对 x∈0，12，a>2－2x－ln 1x恒成立， 令 l(x)＝2－2x－ln 1x，x∈0，12， 则 l′(x)＝－2xx－x1－－122ln x＝2lnxx－＋12x－2 2，
增函数，所以 l(x)<l12＝2－4ln 2，故要使 a>2－2x－ln 1x恒成立，只
需 a≥2－4ln 2，所以 a 的最小值为 2－4ln 2.
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方法点评 此类问题涉及函数的性质与图象、导数的运用，渗 透着化归与转化、数形结合、函数与方程等思想方法，有 利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创 造性等方面也起到了积极的作用，因此成为历年高考的热 点．
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【训练 1】 已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)， 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m，m＋6)，则实数 c 的值 为________． 解析 由题意知 f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a42. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a42＝0，即 b＝a42.
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[真题感悟] [考题分析]
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1．不等式的解法 (1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋ bx＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定 一元二次不等式的解集． (2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是 找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地 求解．
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∴f(x)＝x＋a22.由 f(x)<c，得－a2－ c<x<－a2＋ c，又 f(x)<c 的解 集为(m，m＋6)，
∴－ －a2a2－ ＋
c＝m， c＝m＋6，
②
①
②－①，得 2 c＝6，∴c＝9.
答案 9
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热点二 简单的线性规划问题
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解析 (1)∵x＞0，y＞0，由 x＋3y＝5xy，得3x＋1y＝5. ∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y)3x＋1y ＝13＋12xy＋3yx≥13＋2 36xyxy＝25. 因此 3x＋4y≥5，当且仅当 x＝2y 时等号成立． ∴当 x＝1，y＝12时，3x＋4y 的最小值为 5.