超静定结构内力计算

2、适用范围的比较 凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法； 凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法；反之 宜采用力法。 宜采用力法。 当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。 当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。 力矩分配法计算较为简便， 力矩分配法计算较为简便，但单纯用力矩分配法只能计算无 结点线位移的结构。 结点线位移的结构。
超静定结构内力计算 第六章 超静定结构内力计算
学习要求： 学习要求：
掌握超静定结构概念及超静定次数的确定。 1、掌握超静定结构概念及超静定次数的确定。
了解力法、位移法解超静定结构基本未知量及原理。 2、了解力法、位移法解超静定结构基本未知量及原理。 掌握用力矩分配法的基本原理，会两个结点的分配。 3、掌握用力矩分配法的基本原理，会两个结点的分配。
铰 *固定 CAB =0.5 *铰 支CAB =0 固定
重点：掌握三跨连续梁两节点的分配
如：
4kN/m A
EI
30kN B
3EI
6m
3m
3m
C
2EI
D
8m
10kN/m 40kN A i=1 4m 4m B i=1 8m C i=1 8m D
注意：各段的线刚度
题型5 用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EI为常数。 题型5、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EI为常数。 为常数
由于A 由于A、D为铰支座，已知弯 为铰支座， 矩为零，不取为基本未知量； 矩为零，不取为基本未知量； 为刚结点， B、C为刚结点，所以图示连 有两个结点角位移。 续梁 有两个结点角位移。
所以， 所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！ 等于该结构的刚结点数！
2、独立结点线位移 、 在微弯状态下， 在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。 前后保持不变，即杆长保持不变。
所以该刚架有三个基本未知量。 所以该刚架有三个基本未知量。
*三.用力矩分配法计算超静定结构 三 用力矩分配法计算 用力矩分配法计算超静定结构 力矩分配法是以位移法为基础的渐近解法， 力矩分配法是以位移法为基础的渐近解法， 渐近解法 在计算过程中采用逐步修正的步骤， 在计算过程中采用逐步修正的步骤，最后收 敛于真实状态即求得每段杆两端的弯矩； 敛于真实状态即求得每段杆两端的弯矩；再 运用迭加法画各段杆弯矩图。 运用迭加法画各段杆弯矩图。 力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。 力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。 正负号规定： 正负号规定：杆端弯矩以顺时针为正及转动 约束中的约束力矩也均以顺时针为正。 约束中的约束力矩也均以顺时针为正。
力法、 力法、位移法 概述
结构的两种基本方法。 力法和位移法是计算超静定 结构的两种基本方法。 在力法中，通过综合考虑平衡条件、 在力法中，通过综合考虑平衡条件、物理条件及几何条件 先求出多余约束力，进而求出内力和位移； 先求出多余约束力，进而求出内力和位移； 而位移法则是先求结点位移，再计算内力。 而位移法则是先求结点位移，再计算内力。 在力法和位移法计算中都要建立求解基本未知量的典型方 程。
C C' D D'
A
B
由于杆AC、 两端的距离假设 由于杆 、BD两端的距离假设 不变故C、 结点都没有竖向位移 结点都没有竖向位移； 不变故 、D结点都没有竖向位移； C、D结点虽然有水平位移，但由 结点虽然有水平位移， 、 结点虽然有水平位移 杆的长度不变， 于CD杆的长度不变，因此结点 杆的长度不变 因此结点C 的水平位移相等。 和D的水平位移相等。所以只有一 个独立结点线位移。 个独立结点线位移。
32kN EI 3m 3m C
µBA= 4/7= 0.571 分配系数： 分配系数： µBC= 3/7 = 0.429
6m
分配弯矩： 分配弯矩： A µ MBA= 0.571×(－24) = －13.7kNm －60 × －6.85 µ MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm × －66.85 c 传递弯矩： 传递弯矩： MCB= 0 66.85 c MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm × 最后杆端弯矩： 最后杆端弯矩： MCB= 0 MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm MBA= MFBA＋ MµBA = 46.3kNm MBC= MFBC＋ Mµ
4kN/m A B 6m 3m 3m C 8m 30kN D
注意：查表时对应符号
注意： 注意：
3 Pl 16
P B A
P
3 Pl 16
A
B
M
1 2 ql 8
f AB
3 = − Pl 16
M
f BA
3 = Pl 16
1 2 ql 8
A
B
A
B
M
f AB
1 2 = − ql 8
M
f BA
1 2 = ql 8
SAB = 3 i
=
A
转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i 转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度 有关 ），而且与远端的支承情况有关 而且与远端的支承情况有关。 （i = EI/L），而且与远端的支承情况有关。 转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。 转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越 表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。 大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。
1、计算途径的比较 力法以多余未知力为基本未知量， 力法以多余未知力为基本未知量，位移法以结点位移为基 本未知量。 本未知量。 从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方程； 从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方程； 位移法的基本方程是与附加约束相连的原结构的某一结点或一 部分的平衡方程。 部分的平衡方程。
BC
0.571 0.429 60 －36 －13.7 －10.3
C
0 0 0
46.3 －46.3 46.3 90 48 24.85
A
33.43
= －46.3kNm
M图（kNm） kNm）
多结点的力矩分配
20kN/m A B C 32kN D
步骤： 步骤： 1、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端 、先锁：加约束锁紧全部刚结点， 弯矩和结点的约束力矩。 弯矩和结点的约束力矩。约束力矩 MB = ∑MfBj 2、逐次放松：每次放松一个结点（邻近结点仍锁住） 、逐次放松：每次放松一个结点（邻近结点仍锁住） 进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点， 进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经多 次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行2~3个循 次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行 个循 环就可获得足够的精度。 环就可获得足够的精度。 3、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加（代数和） 、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加（代数和） 就得到杆端弯矩， 就得到杆端弯矩，即：M = Mf＋∑M分配＋∑M传递
支座： 远端定向 支座：C = －1
把上述问题归纳如下： 把上述问题归纳如下： θA A C B θA 当结点A 当结点A作用有力偶荷载 m θA 结点A 时，结点A上各杆近端得到 按各杆的分配系数乘以 m 的 D 近端弯矩，也称分配弯矩 分配弯矩。 近端弯矩，也称分配弯矩。 各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（ 各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯 的远端弯矩，也称传递弯矩 传递弯矩。 矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。 以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷 载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。 载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。 远端支承情况 固 定 铰 支 滑 动 转动刚度 4i 3i i 传递系数 0.5 0 －1
一、力法基本未知量的确定 结构中多余约束的数目即结构的超静定次数为力法基 结构中多余约束的数目即结构的超静定次数为力法基 多余约束的数目即 本未知量数目。判断超静定次数的方法是去掉多余约束 使原结构变成静定结构。 使原结构变成静定结构。
位移法基本未知量的确定 位移法的基本未知量为结点位移。 位移法的基本未知量为结点位移。结点位移分为结 点角位移和结点线位移两类。 点角位移和结点线位移两类。 P D 1、结点角位移 、 A C
＋
MB
B C
2、放松结点B，这相当于在结点 放松结点B 上加一个外力偶（ B上加一个外力偶（－ MB ），按 分配系数分配于两杆的B 分配系数分配于两杆的B端，并使 两杆的远端产生传递弯矩。 两杆的远端产生传递弯矩。具体 计算如下： 计算如下： 设 i = EI/6
SBA= 4i
SBC= 3i
A
20kN/m EI B
有两个多余约束， 有两个多余约束，称为 二次超静定。 二次超静定。
多余约束中产生的约束力称为“多余未知力” 多余约束中产生的约束力称为“多余未知力”。
二、超静定次数的确定 结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。 多余约束的数目称为结构的超静定次数 结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判 断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静 定结构。 定结构。 常见的去掉多余约束方式有以下几种： 常见的去掉多余约束方式有以下几种： 去掉支座处的一根支杆( 支座) 1、去掉支座处的一根支杆(可动铰支座 ，相当于去 掉一个约束。 掉一个约束。 去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。 2、去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。 3、将固定端支座改成铰支座，相当于去掉一个约 将固定端支座改成铰支座， 束。 去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。 4、去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。
m
单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时
例： 20kN/m
A EI 6m B 32kN EI 3m 3m C A 20kN/m
MB
32kN C
MB MFBC
A
B
解：1、先在B点加 先在B 上阻止转动的约束力 B 这时B 矩MB，这时B点相当 MFBA 于固端，查表6 于固端，查表6-1求 得各固端弯矩。 得各固端弯矩。 MFAB = －qL2/12 = －60kNm MFBA = qL2/12 = 60kNm MFBC = －3PL/16 = －36kNm MFCB = 0 所以： 所以：MB= 60－36 = 24kNm －
2、分配系数
令：µAk = SAk ∑ SA
A
µAk称为分配系数
汇交于同一结点各杆的分配系数之和 等于1 等于1，即： ∑ µ = µAB ＋ µAC＋µAD = 1
A
3、传递系数 C
表示当杆件近端有转角时， 表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端 弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。 弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。 远端固定： 远端固定：C = 0.5 铰支： 远端 铰支： C = 0
力矩分配法的基本概念 一、力矩分配法的基本参数 杆的A端 也称近端） 1、转动刚度 SAB : 使AB杆的 端（也称近端）产 杆的 生单位转角时所需施加的力矩。 生单位转角时所需施加的力矩。
θ =1 A B A θ =1 B
SAB = 4 i
θ =1 A B
SAB = i
θ =1 B
当θ ≠ 1时: θ 1时 MAB = SAB θ
力矩分配法要点 1、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。 、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。
2、力矩分配法的基本参数 （1）、转动刚度 SAB ）、转动刚度
*固 固 4i *铰支 铰支 3i 滑 i
µAB =
ห้องสมุดไป่ตู้
其中 i = EI/L SAB ∑ SA
A
（2）、分配系数µAB ）、分配系数 （3）、传递系数 CAB ）、传递系数
超静定结构概述 超静定结构概述
一、超静定结构的概念
有多余约束的几何不变体系， 有多余约束的几何不变体系，结构的支座反力和内 力仅用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。 力仅用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。
B P A C B A
有一个多余约束， 有一个多余约束，称为 一次超静定。 一次超静定。
A B P C D B 由于A 由于A、B、C为固定端支 座，所以其位移均已知为零， 所以其位移均已知为零， 不需作为未知量； 不需作为未知量；而同一刚 结点处各杆的杆端转角相等， 结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个 所以每个刚结点处只有一个 独立的结点转角未知量。 独立的结点转角未知量。故 上图刚架只有一个结点转角 未知量。 未知量。