曲边梯形的面积完整版(课堂PPT)

≥0. 表示由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
3.定积分的作用 f (b)
f (a)
求曲边梯形的面积
0a
y f(x)
bx
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知识应用
应用1: 用定积分的概念, 写出 抛物线yHale Waihona Puke Baidux2与直线x=1, y=0所围成 的阴影部分的面积
y
x
O
1
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为了计算曲边三角形的面积S，将它分割 成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替 “曲边”（即在很小范围内以直代曲），有 以下三种方案“以直代曲” 。
y
x
O
1
方案1 方案2 方案3
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y
y = f(x)
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的
f ( x 1 ) x f2 ( ) x x fn ( ) x x
表示了曲边梯形面积的近似值
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
A
B
D
C
y f2(x)
0a
b
x
容易 ,S 发 bf1 x d现 xbf2 x d.x
a
a
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应用4: 比较下列各式的大小:
(1) 1xdx_______1x_2dx
0
0
2
(2)
4x2dx_______22_dx
0
0
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问题探究
请利用定积分概念, 解释定积分的下列性质:
y
y
y
0
x0
xo
x
直线 几条线段连成的折线 曲线？
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y
y
x
x
oa
b oa
b
一般地, 如果函数y=f(x)在某个区间I上的图 象是一条连续不断的曲线, 那么就把它称为区 间I上的连续函数.
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曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
• [点拨] 按用定义求定积分的步骤即分割、 近似代替、求和、取极限求解．
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教材研读
一、求曲边梯形面积的一般步骤
二、定积分
1.函数f(x)在区间[a, b]上的定积分的概念;
2. b f(x)dx的几何意义是什么? a
3.如何理解b a
f
n1
(x)dxlim 0i0
f
(i)Vxi
?
4.定积分是变量还是常量?
5.定积分的作用是什么?
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微积分在几何上有两个基本问题 1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
面积 A，得 AA1 .
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y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的 面积A， 得
AA1A2.
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y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面
积A， 得 A A 1A 2A 3A 4.
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y = f(x) y
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
并计算出该. 定积分
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小结
1、 分割 将区间等分成 n 个小区间
i-1 1
2、 以直代曲 对于区间 n , n 上小曲边梯形，
i-1
1
以f n 为长， x= n 为宽小矩形面积近似代
小曲边梯形面积
i-1
3、 作和 S= s1+ s2++ sn=sif n • x
4、取极限 n +,
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的
面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A
近似为 A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
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分割越细，面积的近似值就越精确。当 分割无限变细时，这个近似值就无限逼近 所求曲边梯形的面积S。 下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过 程
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(1) 分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0 ,1 ][,1,2 ],,[i 1 ,i],,[n 1 ,n ], nnn nn nn
每个区间的x长 i 度 i1为 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 ,, S i,, S n .
max{Vxi},i0,1,2,,n1,在每个小区间xi1,xi上任取一点I
n1
i1,2,,n,作和式Ifixi,当0时 ,上述和式无 i0 限接近某个常数,这个常数叫做函数f x在区间
a,b上的定积分,记作ab f xdx, 即 这 里 ab,fa(与 x)b d分 x别 li 叫 m0做 ni01积 f(分 i)下 Vx限 i 与 lni 积 m分 in1上 bn限 a,区 f 间 i.
根据定积分的概念,曲边梯形的面积
S
1
f
xdx
1x2dx1.
0
0
3
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应 用 2: (1)证明bdxba(其中a,b a
均为常数,且ab)
(2)求1 1x2dx的大小 0
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应用3: 请利用定积分的几何意义，
表示出阴影部分的面积S.
y
y f1(x)
(1)
b
kf(x)dx k
b f (x)dx(k为常数)
a
a
b
b
b
(2) a [ f1(x) f2(x)]dx a f1(x)dx a f2(x)dx
b
c
b
(3)a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
(其中a c b)
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知识应用
应用 5: 从释 几1何 x3d上 x的解 意,义 1
叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
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P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用一条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以
看作直线（即在很小范围内以直代曲）．
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1.5.1 曲边梯形的面积 特殊：求直线x0、x1、y0及曲线 yx2 所
围成的平面图形（曲边三角形）面积S是多少？
i-1 f n • xS
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• 例2 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成 正比，即为F(x)＝kx(k为常数，x是伸长 量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功
• [解] 将物体用常力F沿着力的方向移动 距离x，则所做的功为W＝Fx，其中F是 克服弹簧拉力的变力，则移动距离x的函 数F(x)＝kx.
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(2) 以直代曲
Si f(i n1)x(i n1)2n 1
(3) 作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f( i - 1) 1 n ( i - 1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
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(4) 逼近
当 分 割 无 限变 x细 0(亦， 即 n 即 )时 ，
a,b叫 做 积 分 区 间 ,函 数 fx叫 做 被 积 函 数 ,x叫
做 积 分 变 量 ,fxdx叫 做 被 积 式 .
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知识归纳
1.定积分的概念: 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f (x)dx a bf(x)d xn i 0 1f(i)V x i ln i m i n 1(b na )f(i)
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2.定积分的几何意义:
在区间[a, b]上函数f(x)连续且恒有f(x)
≥0. 表示由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
f (b)
y f(x)
f (a)
0a
bx
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2.定积分的几何意义:
在区间[a, b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)
n13[02
1222(n1)2]n13
1(n1)n(2 6
n1)
1(11)(21)1. 6n n3
所以 S1，即所求曲边三 面角 积1形 为 。的
3
3
分割
以直代曲
作和
逼近
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当分点非常多（n非常大）时，可以认为 f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常 小），从而可以取小区间内任意一点 xi 对应 的函数值 f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x 来近似表示小曲边梯形的面积
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• 在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
• 得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · ·, y = f(x)
n• )区．间[xi1 , xi ]的长 y f(2)
f(i)
度xi xi xi1 ．
f(1)
• 把曲边梯形分
f(i)xi
成 n 个窄曲边 梯形．
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
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观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
o
x
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把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积
S的近似值。
y
分点越来越密时， 即分割越来越细时， 矩形面积和的极限即 为曲边形的面积。
o
x
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函数f(x)在区间[a, b]上的定积分的概念;
如果函数fx在区间a,b上连续,用分点
ax0x1xi1xi xnb将区间a,b等分成n个小区间 ,
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将[0，b]n 等分，记 Δx＝bn，分点依次为：x0＝0，x1＝bn， x2＝2nb，…，xn－1＝(n－n1)b，xn＝b.当 n 很大时，在分段[xi， xi＋1]所用的力约为 kxi，所做的功 ΔWi≈kxi·Δx＝kxibn.
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• 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功 为：
xi-1 i xi
xn-1 b x
n
曲 边 梯 形 的 Sln 面 i m i1积 f(i为 )xi.
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练习 ：求直线x=0, x=2, y=0与 y=x2所围成的曲边梯形的面积.
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小结 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
y
(1) 分割 (2) 近似代替 (3) 求和 (4) 取极限
O a 1 x12 x2
xi-1 i xi
xn-1 b x
• 任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲 边梯形的面积．
n
• 曲边梯形的面积近似为：A f (i)xi ． i1
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y
f(2) f(1)
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x12 x2
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