江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学试题

江苏省南通市2014届高三第一次调研测试

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．

【答案】{3，5}．

2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．

【答案】二．

3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．

【答案】x ∀∈R ，||0x >．

4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．

【答案】3．

5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨

+⎪⎪+⎩≤≤≥，

≥，，

，

则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．

6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的

值是 ▲ ．

【答案】32

-．

7．

的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．

8． 已知正三棱锥的侧棱长为1（第6题）

两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】2．

9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6

个单位后得到的图象关于原点对

称，则ϕ等于 ▲ ． 【答案】π．

10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4

m

的最小值

是 ▲ ． 【答案】52

．

11．若向量()cos sin αα=，

a ，()cos sin ββ=，

b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1．

12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小

值是 ▲ ． 【答案】1-．

13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA

,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图

形面积等于 ▲ ．

【答案】43

π+

14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，

使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ． 【答案】8．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；

（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．

A 1

B 1

C 1

D 1

（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，

AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，

所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，

故四边形11A ABB 为菱形．

从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，

所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分

16．(本小题满分14分)

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34

．

（1）求tan B 的值；

（2）若2c =，求△ABC 的面积．

（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分

即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．

因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B

=-．……………………………………………………4分

又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，2

3tan 34

4tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分

（2）解：由（1），得

sin A =

sin B =，3sin 5C =． ………………………………10分

由正弦定理，得sin sin 3c A a C ==

=．……………………………………………12分 所以△ABC

的面积为114sin 2ac B ==． ………………………………14分

17．(本小题满分14分)