第四章 第1节 平面向量的概念及其线性运算

第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算

1.给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；

③若A B

＝D C ，则四边形ABCD 为平行四边形；

④在▱ABCD 中，一定有A B

＝D C ； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，

其中不．正确的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a |＝|b|，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．正确的是③④⑤. 答案：B

2．下列四个命题，其中正确的个数有

( )

①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝ma －mb ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝ma －na ③若ma ＝mb (m ∈R)，则有a ＝b

④若ma ＝na (m ，n ∈R ，a ≠0)，则有m ＝n

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：只有③不正确，∵a ≠b ，m ＝0时，ma ＝mb 也成立，其余①②④均成立． 答案：C

3.若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①A B ＋D C ＝B C ＋D A ；②A C

＋B D ＝B C ＋AD ；③A C －B D ＝D C ＋A B

.其中正确的有 ( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：①式的等价式是A B －B C ＝D A －CD ，左边＝A B ＋CB ，右边＝D A

＋D C

，不一定相等；

②式的等价式是A C －B C ＝AD －B D ，A C ＋CB ＝AD ＋D B ＝A B

成立；

③式的等价式是－D C ＝A B ＋B D

，AD ＝AD 成立．

答案：C

4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD

＝ ( )

A ．－

B

C ＋12BA B ．－B C －12

BA

C ．B C －12BA D. B C ＋12BA

解析：CD ＝CB ＋B D ＝－B C ＋12

BA

.

答案：A

5．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若A C

＝λAE ＋μAF

，其中，λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.

解析：如图，∵ABCD 为▱，且E 、F 分别为CD 、BC 中点．

∴A C ＝AD ＋A B

＝(AE －DE )＋(AF －BF )

＝(AE ＋AF )－12(D C

＋B C )

＝(AE ＋AF )－12

A C ，

∴A C ＝23

(AE ＋AF )，

∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝4

3答案：4

3

6．如图，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、

N 分别是DC ，AB 的中点，已知＝a ，AD

＝b ，D C ＝

c ，试用a ，b ，c 表示B C ，M N

，DN ＋C N .

解：A B ＝BA

＋AD ＋D C ＝－a ＋b ＋c .

∵M N ＝M D ＋D A

＋AN ，

M N

＝M C ＋CB ＋BN ，

∴2M N ＝M D ＋D A ＋AN ＋M C ＋CB ＋BN ＝D A

＋CB ＝－AD ＋CB

＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c ，

∴M N

＝12a －b －12c . DN ＋C N ＝DM ＋M N ＋C M ＋M N

＝2M N

＝a －2b －c .

7.(2009·湖南高考)b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

解析：由a ＋b ＝0知道a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立. 由a ∥b 知a ＝λb.λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立． 答案：A

8．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 1、b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示另一组基向量a 、b 的线性组合，则e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析：设e 1＋e 2＝xa ＋yb ， 即e 1＋e 2＝(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2.

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x －y ＝1，2x ＋y ＝1.∴x ＝23，y ＝－13.

答案：23 －1

3

9.已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .若OA －4OB ＋3O C

＝0，则A B B C

＝________

A.13

B.1

2

C ．2

D ．3 解析：∵OA －4OB ＋3O C ＝0，∴(OA －OB )－3OB ＋3O C ＝0，即OA －OB

＝

3(OB －O C )，∴BA

＝3CB ，∴A B B C ＝3.

答案：D

10．非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λA B (λ∈R)，则

点Q (x ，y )的轨迹方程是 ( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．2x ＋y －2＝0

解析：PA ＝λA B

，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ) OA －λOB . 又2OP ＝x OA ＋y OB ，