高等代数课件.

四. 线性方程组有解的条件
考虑线性方程组:
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
分别用A和 A表示它的系数矩阵和增广矩阵, 用1, 2,…, n以及表 示增广矩阵的列向量. 如果方程组有解, 则存在数x1, x2,…, xn使
矩阵:
a21
a22
a2n
.
用行初等变换
am1 am2 amn
和第一种列初等变换可以把A化为以
下形式:
1 * * * * * r 0 * * * * *
行
0 0 0 1 * *
0
0
0 0
可进一步化为:
1 0 0 0 c1,r1 c1n 0 1 0 0 c2,r1 c2n
(5)
xir dr c x r,r1 ir1 crn xin
此时, 给未知量 xir1 , xir2 , , xin 任意指定取值, 它们连同它们代入(5)
后所决定的 xi1 , xi2 , , xir 将是方程组(4), 即方程组(1)的解. 因此, 这 时, 方程组(1)有无穷多个解. 称(5)为方程组(1)的一般解.
(4)
xir c x r,r1 ir1 crn xin dr
同解.
当r=n时, 方程组(4)有唯一解 xit dt , t 1,2, n. 当r<n时, 方程组(4)可以写为:
xi1 d1 - c x 1,r1 ir1 c1n xin
xi2
d2 - c x 2,r1 ir1 c2n xin
0 0 0 1 cr,r1 crn
0
0
0 0
三. 矩阵与线性方程组的解
1.线性方程组的系数矩阵与增广矩阵
a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1
称矩阵 a21 a22 a2n 和 a21 a22 a2n b2 分别为方程组
一. 线性方程组的初等变换
例1.用消元法解线性方程组:
2x1 2x2 x3 x1 2x2 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
线性方程组的初等变换是指线性方程组的下述三种变换: 1) 交换两个方程的位置 2) 用一个非零数乘某一个方程 3) 用一个数乘一个方程后加到另一个方程
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm
的增广矩阵施行行变换和不涉及最后一列的列变换, 可把该增广矩
阵化为如下形式: 1 0 0 0 c1,r1 c1n d1 0 1 0 0 c2,r1 c2n d2
高等代数课件
陇南师范高等专科学校数学系
2008年制作
第六章 线性方程组
6.1 消元解法 6.3 齐次线性方程组解的结构 6.4 一般 线性方程组解结构 6.5 秩与线性相关性 6.6 特征向量与矩阵的对角化
6.1 消元解法
一. 线性方程组的初等变换 二. 矩阵及其初等变换 三. 矩阵与线性方程组的解 四. 例题
am1 am2 amn
am1 am2 amn bm
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
的系数矩阵和增广矩阵.
2.线性方程组的解 由定理4.2.1知, 对方程组
1) 交换矩阵的两行(列); 2) 用一个非零数乘矩阵的某一行(列), 即用一个非零数乘矩阵 的某一行(列)的每一元素; 3) 用某一数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列), 即用某一数 乘矩阵的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的对应元素上.
定理4.1.2 设A是一个m行n列
的
a11 a12 a1n
x11+ x22+…+ xnn=. 所以系数矩阵的列空间(的维数)与增广矩阵的列空间(的维数)相同. 即秩A=秩 A. 反之, 如果A=秩 ,A则1, 2,…, n的一个极大无关组也是 1, 2,…, n, 的一个极大无关组. 即可用1, 2,…, n线性表示. 这 说明线性方程组有解.
以下两种情形:
情形1. 当 r<m, 且dr+1, dr+2, … , dm不全为零时, 方程组(3)无解, 即方程组(1)无解.
情形2. 当r=m或r<m而dr+1, dr+2, … , dm全为零时, 方程组(3)与
xi1
c x 1,r1 ir1 c1n xin d1
xi2 c x 2,r1 ir1 c2n xin d2
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0 0 0 1 cr,r1 crn dr . (2)
0
0
d
r 1
0 0 dm
而对增广矩阵的行的初等变换就是对其对应的方程组的初等变换, 而不涉及最后一列的第一种列变换无非是交换两个未知数的位置. 因此矩阵(2)就是一个与方程组(1)同解的方程组
xi1
xi2
c x 1,r1 ir1 c1n xin d1 c x 2,r1 ir1 c2n xin d2
xir c x r,r1 ir1 crn xin dr
(3)
0 dr1
0 dm
的增广矩阵. 因此要方程组(1)解只需解方程组(3). 方程组(3)的解有
定理6.1.1 初等变换把一方程组变一个与它同解的方程组.
二. 矩阵及其初等变换
1.矩阵 由st个数cij排成的一个s行t列的表 c11 c12 c1t c21 c22 c2t cs1 cs2 cst
叫做一个s行t列(或st)矩阵. cij叫做这个矩阵的元素.
2. 矩阵的初等变换 矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行的 下列变换之一: