极坐标系 ppt课件
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想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
极径相同，不同的是极角
思考：这些极角有何关系？
教学目标：
能在极坐标系中用极坐 标刻画点的位置。
体会极坐标系和平面直 角坐标系中刻画点的位 置的区别。
能进行极坐标和直角坐 标的互化。
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2x2y2, tan y(x0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 ( 5 , 2 )
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位（通常取
弧度）及它的正方向
（通常取逆时针方
O
X
向）。
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度，用 表示从OX到
M
OM 的角度， 叫做点M
的极径， 叫做点M的极
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1(o1,1),P2(2,2) x
之间的距离可总结如下：
P1P2 1222212cos(12)
思 考 : 极 坐 标 系 中 ， 点 A 的 极 坐 标 是 (3 , )
6
（（12））点点AA关 关于 于极 极轴点对对称称的的点点是的极__(_坐3_,_标1_16_是_)____(__3__, __76____)___
（3）点A关于直线 ＝
2
的对称点的极坐标是__(3_,_5_6_)_
对称性
(,)关于极轴的对称 (点 ,2为 )
关于极点的对称点(为, )
关于过极点且垂直 轴与 的极 直线的对称点
为(,)
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
4
D
3
G 5 3
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。
P
M (ρ,θ)…
[2]给定平面上一点M，但却 O
X
有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
极坐标和直角坐标的互化
3
化成直角坐标.
解: x5co2s5
32
y5sin25 3
32 所以, 点M的直角坐标为( 5 , 5 3 )
22
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A (3, )
B (2, )
C (1, )
6
2
2
3
D( , ) 24
E (2, 3 )
4
例2. 将点M的直角坐标 ( 3, 1)
化成极坐标.
这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式： 4 ，2 k π +
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
C(3, ) 2
F (4, )
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3 )
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1 , 3 ) 设点M的极坐标为(ρ,θ) M ( 2, ∏ / 3)
12（3） 2 2 tan 3 3
解: (3)2 （ 1 ） 22
tan 1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以
7
6
因此, 点M的极坐标为(2, 7 )
6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3)
C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例求3两已点知间两的点距（离2. ，π3 ）B ，（3，π2 ）
有。（ρ，2kπ+θ）
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
极径相同，不同的是极角
思考：这些极角有何关系？
教学目标：
能在极坐标系中用极坐 标刻画点的位置。
体会极坐标系和平面直 角坐标系中刻画点的位 置的区别。
能进行极坐标和直角坐 标的互化。
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2x2y2, tan y(x0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 ( 5 , 2 )
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位（通常取
弧度）及它的正方向
（通常取逆时针方
O
X
向）。
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度，用 表示从OX到
M
OM 的角度， 叫做点M
的极径， 叫做点M的极
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1(o1,1),P2(2,2) x
之间的距离可总结如下：
P1P2 1222212cos(12)
思 考 : 极 坐 标 系 中 ， 点 A 的 极 坐 标 是 (3 , )
6
（（12））点点AA关 关于 于极 极轴点对对称称的的点点是的极__(_坐3_,_标1_16_是_)____(__3__, __76____)___
（3）点A关于直线 ＝
2
的对称点的极坐标是__(3_,_5_6_)_
对称性
(,)关于极轴的对称 (点 ,2为 )
关于极点的对称点(为, )
关于过极点且垂直 轴与 的极 直线的对称点
为(,)
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
4
D
3
G 5 3
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。
P
M (ρ,θ)…
[2]给定平面上一点M，但却 O
X
有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
极坐标和直角坐标的互化
3
化成直角坐标.
解: x5co2s5
32
y5sin25 3
32 所以, 点M的直角坐标为( 5 , 5 3 )
22
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A (3, )
B (2, )
C (1, )
6
2
2
3
D( , ) 24
E (2, 3 )
4
例2. 将点M的直角坐标 ( 3, 1)
化成极坐标.
这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式： 4 ，2 k π +
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
C(3, ) 2
F (4, )
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3 )
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1 , 3 ) 设点M的极坐标为(ρ,θ) M ( 2, ∏ / 3)
12（3） 2 2 tan 3 3
解: (3)2 （ 1 ） 22
tan 1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以
7
6
因此, 点M的极坐标为(2, 7 )
6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3)
C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例求3两已点知间两的点距（离2. ，π3 ）B ，（3，π2 ）
有。（ρ，2kπ+θ）