第四章根轨迹分析法剖析

变形得
1 a(s 1) 0 s(s 2)(s 3)
则
GK
(s)
a(s 1) s(s 2)(s
3)
a 因此，问题转化为作 从 0 变化时系统的根 a 轨迹，由根轨迹确定方程都为实根的 值范围。
a 由根轨迹可知，需要求出分离点处的 值。
分离点d由公式计算：
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
k 0,1, 2, n m 1
n
m
pj zi
j1
i 1
nm
6.根轨迹的分离点
（1）
GK (s)
Kg
N (s) D(S)
1
D(s) Kg N(s)
由 dKg 0 N(s)D(s) N(s)D(s) 0 ds
m
（2）
1
n
1
i1 d zi j1 d p j
（d 为分离点）
四、零度根轨迹
下面三种情况需要按 00 根轨迹法则绘制根轨迹
1.正反馈系统
1 GK (s) 0 GK (s) 1
2.负反馈系统，但传递函数为
GK
(s)
Kg (1 s)(s 2) s(s 3)(s 4)
GK
(s)
Kg s(3
(s 1)(s 2) s)(s 4)(s
5)
3.负反馈系统
六、利用根轨迹分析系统的性能
1.利用根轨迹确定·使系统稳定的参数范围； 2.动态性能分析（主导极点）； 3.利用根轨迹确定满足某一性能指标的根的位置及闭环传 递函数。
典型例题分析
例1：已知系统的闭环传递函数为:
(s)
s2
as as
16
（单位负反馈系统，a 0 ）
a 绘制闭环系统 从 0 变化时的根轨迹。
解：由
(s)
s2
as as 16
得系统的特征方程
s2 as 16 0
1
s2
as 16
0
则
GK
(s)
s2
as 16
例2： D(s) s3 5s2 (6 a)s a 0
a 确定使方程都为实根的 的取值范围。
解：由 D(s) s3 5s2 (6 a)s a 0
得 s3 5s2 6s a(s 1) 0
要做相应的变换。
五、增加开环零极点对根轨迹的影响
增加开环零点：根轨迹左移
增加开环极点：根轨迹右移
增加接近坐标原点的偶极子：将影响系统的稳态性能
m
GK
(s)
Kg
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
s s
zc pc
j 1
m
K Kg
zi
i 1
zc
n p j pc
j 1
当
zc pc K
e 偶极子对动态性能影响很小 ss
K KV 9
K 4.5 综合题目要求 4.5 K 54
例5：已知负反馈系统的开环传递函数为
GK
(s)
K(S S(S
3) 2)
1.绘制系统的根轨迹；
, 2.求使系统取得最大振荡响应的阻尼比
n 和 K 值；
3.求当 K=2 时系统的单位阶跃响应。
解：1.系统有两个开环实数极点，一个开环实数零点，且零 点位于极点的左侧，因此复平面的根轨迹为园，其园心在零
sj pj
j 1
j 1
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型或 型以上系统
n
或
(s j ) (1)nc0
j 1
n
m
sj Kg zi
j 1
i1
c0 为闭环特征方程的常数项
三、参量根轨迹（作 Kg 以外其它参数变化时的根轨迹）
方法：由 1 GK (s) 0
P为作根轨迹的可变参数
1 PG(s) 0
GK (s) PG(s) 为等效开环传递函数 用GK (s) PG(s) 按 1800 或 00 根轨迹法则绘制
7.根轨迹的出射角与入射角
pi
1800
m
pi z j
n
pi
pj
j1
j 1 ji
zi
1800
m
zi z j
n
zi
pj
j 1 ji
j 1
8.根轨迹与虚轴的交点
由劳斯判据或 s j 代入特征方程可求出根轨迹与
虚轴的交点和根轨迹增益
9.闭环极点的和与积
nm2
n
n
1 幅值方程
(s pj)
j 1
m
n
s zi s pj (2k 1) 2k 相角方程
i1
j 1
1800 根轨迹
二、绘制根轨迹的基本法则（ 1800 根轨迹）
1.根轨迹的起点，终点 2.根轨迹的对称性 3.根轨迹的分支数 4.实轴上的根轨迹 5.根轨迹的渐近线
(2k 1)
nm
例3：
GK
(s)
s(s
K 1)(Ta s
1)
分析 Ta 对于系统性能的影响。
解：实际上是要作 Ta 从 0 变化时的根轨迹，由
根轨迹分析 Ta 对系统性能的影响。
由 1 GK (s) 0 s(s 1)(Tas 1) k 0
s(s 1) K Tas2 (s 1) 0
则等效开环传递函数为
求与虚轴的交点
K 1 GK (s) 1 s(s 3)2 0
s3 6s2 9s K 0
s j 代入特征方程，解得 K 54
或由劳斯判据计算虚轴交点处的 K 值。
2.计算 r(t)=t 时 ess 2 的 K 值
当 0 k 54 时，系统稳定
1 ess KV 2
则 KV 0.5
第四章 根轨迹分析法
基本知识点
一、基本概念
1.根轨迹
m
Kg (s zi )
已知
GK (s)
i 1 n
(s pj)
j 1
0 ~ 绘制 Kg 从
变化时闭环系统的根轨迹。
2.根轨迹方程
m
1 GK (s) 0
Kg (s zi )
i 1 n
1
m
Kg (s zi )
(s pj)
j 1
i 1 n
m
Kg (s zi )
GK (s)
i 1 n
(s pj)
j 1
绘制 K g 从 0 变化时闭环系统的根轨迹。
上述三种情况，根轨迹方程变为： GK (s) 1
相角方程变为：
m
n
s zi s pj 2k 00
i 1
j 1
绘制 00 根轨迹时，1800 根轨迹法则中与相角相关的法则
r(t)=t 时，ess 2 ，确定满足要求的 K 值范围。
R(s)
K
1
c(s)
s
(s 3)2
解：1.求系统工作在欠阻尼状态下的 K 值
K GK (s) s(s 3)2
作根轨迹
3
由根轨迹可见，需要求出分离点及与虚轴交点的 K 值
分离点： 1 2 0 d 1
d d 3
Kd 2 21 4
GK (s)
Tas2 (s 1) s(s 1) K
mn
设 K 0.098 s(s 1) K 0
s1 0.112, s2 0.89
则
GK
(s)
(s
Tas2 (s 1) 0.112)(s 0.89)
作 Ta 变化时的根轨迹，分析 Ta 对于系统性能的
影响。
例4：系统的结构如图所示，欲使系统工作在欠阻尼状态，且