三角形的内角和定理

三角形的内角和定理（一）

泰宁县第二中学元功平设计理念

教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。它需要运用“对话式”的学习方式，采取多种教学策略，使学生在合作、探索、交流中发展能力，实现教者与学者感情上的融洽和情感上的共鸣；给学生体验成功的机会。.教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。学生学习的过程是一个学生亲自参与,丰富、生动的思维活动,经历实践和创新的过程。

教学內容

《义务教育课程标准实验教科书数学》（北师大版）八年级下第207-211页

教学目标

1.知识与技能：

⑴掌握三角形内角和定理的证明。

⑵初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力

2.过程与方法：经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。

3.情感态度与价值观：

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

学情与教材分析

1.“三角形内角和定理的证明”是八年级下初中数学教材继“相交线与平行线”之后的一个学习内容，应用这个定理可以得出三角形外角和，以及三角形内角与外角的关系，多边形内角和。也是学习“解直角三角形”的基础。因此本节课的内容在教材的编排顺序上起着承上启下的作用。根据新的课程标准，将三角形的内角和定理证明作为重点，教学难点是在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。在教学过程中循序渐进的设计“猜想”、“讨论”、“验证”、“应用”等环节以突破难点。

2．学生分析：八年级的学生，已具备一定的自主学习和协作交流能力，班级中学生

相互评价、相互提问、信息互享的互动氛围较浓；在学习了相交线与平行线的基础上，本节课的学习便是知识的延续和创新，学生会积极主动的投入实验、讨论、交流、建构。

教学准备

教师准备多媒体演示两幅,学生每人准备一个硬纸片三角板。

教学过程

一、引入新课

［师］同学们，我们做这样的实验：将三角形纸片的三个角剪下，随意将它们拼凑在一起，恰好得到一个什么角?

［生］平角。

从而大家得出三角形的三个内角和等于180°。[让学生自己动手探究,体会数学研究的乐趣.]

［师］现在，我们来看两个电脑的动画演示，验证这个结论是不是正确的。

1.动画演示一

［师］先将△ABC中的∠A通过平移和旋转到如上图所示的位置，再将图中的∠B通过平移到上图所示的位置。

拖动点A，改变△ABC的形状，三角形的三个内角和总等于180°

2.动画演示二

［师］先将三角形纸片(图(1))一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(2))，

然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合(图(3) (4)。)

［师］由电脑的动画演示可知：∠A、∠B、∠C拼成的角总是一个平角，由此得到三角形的三个内角之和等于180°。[让学生直观感受,调动其研究兴趣]

我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明。这就是我们这节课所要研究的内容。

二、定理证明

［师］接下来我们来证明这个命题：三角形的三个内角之和等于180°。这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢?

［生］需要先画出图形、根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。[有本章前面几节作为基础，学生有能力画图，写已知，求证。]

［师］很好!怎样证明呢?[ 联想前面撕角拼角的方法，学生能想到。让学生体会转化的数学思想方法，把新知识化为旧知识。]

［生］添加辅助线，延长BC到点D，过点C作CE∥AB，∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，进而将三个内角拼成平角。[通过以上分析、研究，让学生讲解依据：根据平行线的性质，利用同位角,内错角把三角形三内角转化为一个平角。使学生亲身参与数学研究的过程，并在过程中体会数学研究的乐趣。] [实验法]

已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB

∵CE∥AB

∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)

∵∠ACE+∠ECD+∠BCA=180°

∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代换)

[教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。]

上面我们证明了三角形三个内角和等于180°，这个结论是正确的，我们称它为三角

形内角和定理。证明思路是将三角形的三个角集中到点C处，拼成一个平角。根据这个思路，你们有没有其它的证法呢? [教师给出规范的证明过程的板书，可以起到示范的作用。也在向学生强调要重视数学的基本功。]

三、探究讨论

四个学生为一组，探索三角形内角和定理的其它证法分析、证明方法。

［师］给同学们一些时间，在独立思考的基础上合作交流积极探索，看哪个组的思路广，证法多。大家比一比，好吗?

［生］(齐声)好! [学生自主探索，教师巡视、诊断，]

给学生足够的时间

［师］同学们探索好了吗?

［生］(齐声)好了，我们有很多证法。

［师］现在，各组派一名代表说明证明的思路。[学生自己得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。]

1.［生1］过点A作直线PQ∥BC，使三个角凑到“A”处。[通过分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。]根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。

证明：过点A作直线PQ∥BC

∵PQ∥BC

∴∠B=∠PAB(两直线平行，内错角相等)

∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)

∵∠PAB+∠QAC+∠BAC=180°

∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)

2.［生2］在△ABC的一边BC上任取一点D，过点D

点作其它两边的平行线，把三个内角拼成以D为顶点的平

角。

证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC

∴∠B=∠EDC(两直线平行，同位角相等)