离散数学-关系的闭包

<x, z> R∪R2∪…
从而 R∪R2∪… 是传递的.
因t(R)是传递闭包,
故t(R) R∪R2∪….
由以上两方面知, t(R) ＝ R∪R2∪… .
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通过关系矩阵求闭包 a11 a12 a1n b11 b12 b1n c11 c12 c1n
a21
推论a21
设aaRn222是有t限(Raa集2n)nn=合RA∪bb上2211R的2∪bb关n222…系∪，R则rbb.2n存nn 在 正cc22整11 数ccn2r22使w得ww.theccm2nenngallery.com
§7.5 关系的闭包
一. 闭包的定义
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定义7.14 设R是非空集合A上的关系,R的自反闭包(对称闭包, 传递闭包)是 A上的关系 R' ,它满足:
(1) R' 是自反的 (对称的,传递的)；
(2) R R' ;
(3) 对A上任何包含 R 的自反关系 (对称关系,传递关系)
0 1 0 0
M0
1
0 0
0 0 0
1 0 0
0 10
0 1 0 0
M1
1
0 0
1 0 0
1 0 0
0
1 0
1 1 1 0
M2
1
0 0
1 0 0
1 0 0
0
1 0
1 1 1 1
t(R)
M4
1
0 0
1 0 0
1 0 0
1
1 0
10 /
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1 1 1 1
M3
1
0 0
1 0 0
1 0 0
R'' 都有R' R'' .
注:R的自反闭包记为 r(R),对称闭包记为 s(R),传递闭包记
为 t(R).
Reflexive, Symmetric, Transtive: r(R), s(R), t(R).
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闭包的计算
定理 7.10 设R是A上的关系,则 (1) r(R)=R∪R0; (2) s(R)= R∪R-1; (3) t(R)= R∪R2∪R3∪….
Mt = M+M2+M3+…,
⇔ mxy = 1 ∨ exy = 1
其中E是与M同阶的单位矩阵.M'是M的转置矩阵,矩阵元素 相加时使用逻辑加.
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通过关系图求闭包
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设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt, 则Gr, Gs, Gt的顶点集与G的顶点集相同.除了G的边外,依下述方法添加新边:
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Warshall算法
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❖ 设A={x1,x2,…,xn},R为A上的二元关系,R的关系矩阵为 M:
1. Mt = M+M2+…+Mn 2. Warshall算法
考虑矩阵序列 M0,M1,…,Mn= Mt : k=0,1,…,n Mk[i,j]=1 当且仅当 在GR中存在一条从xi到xj的路径 并且除端点外中间只经过{x1,x2,…,xk}中的顶点. Mk+1[i,j]=1 当且仅当 在GR中存在一条从xi到xj的路 径并且除端点外中间只经过{x1,x2,…,xk,xk+1}中的顶 点
证:由定理7.6和定ci理j 7.1a0ij立即b得ij ,证.1 i, j n
通过关系矩阵求闭包
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms, Mt, 则:
Mr = M+E,
r(R) = R∪IA
Ms = M+M',
<x,y>∈r(R) ⇔ <x,y>∈R ∨ <x,y>∈ IA
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闭包的计算
下证 R∪R2∪… 是传递的. 事实上,对任意 <x, y>,<y, z>,
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(<x, y> R∪R2∪…)∧(<y, z> R∪R2∪…)
t (<x, y>Rt) ∧ s(<y, z>Rs)
ts(<x, z> Rt Rs)
ts(<x, z> Rt+s)
1
1 0
Baidu Nhomakorabea
闭包的性质
(1)对G的每个顶点,如果无环,则添加一条环,由此得到Gr; (2)对G的每条边,如果它是单向边,则添加一条反方向的边.由此得 到Gs;
(3) 对G的每个顶点xi ,找出从xi 出发的所有2步, 3步, …, n步长的
有向路 (n为G的顶点数).设路的终点分别为 x j1 , x j2 , , x jk ,如果 从 xi 到 xxjjl 无(l 边1,,则2,添 上k)这条边.如上处理完所有顶点后得到 Gt
(2) 略.
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闭包的计算
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(3)先证R∪R2∪… t(R),为此只需证明对任意正整数n都有 Rnt(R). 用归纳法. 当n=1时, R1 = R t(R). 假设 Rn t(R), 下证 Rn+1t(R) 事实上,由于 <x, y>Rn+1 = Rn R t(<x,t>Rn ∧<t,y>R) t(<x,t>t(R) ∧<t,y>t(R)) <x,y>t(R) 从而 Rn+1 t(R) . 由归纳法完成证明.
离散数学
集合论
❖ 集合代数
❖ 二元关系
❖ 函数
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主要内容
集合的基本概念 集合的运算 有穷集合的计数 集合恒等式
有序对与笛卡儿积 二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
函数的定义与性质 函数的复合与反函数 双射函数与集合的基数
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证明：(1) 由IA= R0 R∪R0 知, R∪R0 是自反的,且R R∪R0.
设R''是A上包含R的自反关系,则 R R'' , IA R'', 因而 <x,y> R∪R0 <x,y>R∪IA <x,y> R''∪R'' = R'' 即 R∪R0 R'' .可见R∪R0满足自反闭包的定义,从而 r(R)= R∪R0.
Mk[i,j]=1 或者
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Mk[i,k+1]=1 ∧ Mk[k+1,j]=1
Warshall算法示例
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❖设 A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},求
t( R ). Mk+1[i,j]=1 ⇔ Mk[i,k+1]=1 ∧ Mk[k+1,j]=1 解