双曲线的简单几何性质教学设计

高二数学双曲线的简单几何性质教学设计

一、教学目标

知识与技能

1、知道双曲线的简单几何性质。

2﹑能够根据双曲线方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。

3、能够根据双曲线的性质得出相应的双曲线方程。

4、理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。

过程与方法

培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和研究问题能力，以及类比的学习方法。

情感、态度与价值观

培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念．二、教学重点、难点

教学重点：双曲线的离心率和渐近线

教学难点：双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系

三、教学准备

学生熟练掌握椭圆的定义﹑标准方程及几何性质，了解双曲线的定义﹑标准方程，认识椭圆和双曲线的内在联系，并掌握几何画板的一般操作步骤。

教师制作PPT课件和易于学生发现和掌握规律的几何画板实验平台。

四、教学过程

4．1 创设情境，引入课题

复习1、双曲线的定义及标准方程

122

PF PF a

-=，

22

22

1

x y

a b

-=或

22

22

1

y x

a b

-=（其中222

b c a

=-）（让学生适当举

例）

复习2、椭圆的几何性质

动画演示平面截圆锥面的过程、椭圆双曲线的生成过程，让学生进一步体会两曲线的内在联系，从而激发探究本课题的动机。

4．2 活动探究，认识性质

1、范围、对称性、顶点的探究

结合椭圆的性质，让学生类比得出双曲线的相关性质，并结合方程加以验证并说出与椭圆的不同。

2、双曲线的离心率

结合学生的举例利用几何画板画出相应的图形，让学生认识到双曲线从形状上来看有

开口大小之分并提出进一步探究方案；在静态图形观察的基础上进行双曲线的动态变化（具体方式可以为a 不变，将c 逐渐增大），从而认识到离心率可以刻画双曲线的张口大小，并得出规律（离心率越大，开口越大）。

3、双曲线的渐近线

在问题（问题1：如何作一双曲线（离心率只是一种感性认识难以外显）？问题2：

函数1

y x

=

也是双曲线，如何作其图象？）引导下，学生认识到双曲线的渐近线的概念；在几何画板平台中作两条经过坐标原点且关于y 轴对称的直线，并将它们绕着原点旋转，从

而真实感受到渐近线的存在，并发现双曲线夹在两条渐近线之间。从平面区域范围的认识，

结合方程的推导，发现渐近线方程为0x y a b +=、0x y

a b

-=；通过几何画板平台中双曲线上的点到相应渐近线距离的刻画，直观感受到双曲线上的点“越来越接近于直线b

y x a

=”，

结合理论推导体会极限思想。

在如何作渐近线的思考下，结合图形的观察，学生发现利用直线x a =±、y b =±所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而在引出实轴、虚轴的概念的同时，也为学生双曲线的作图提供了一种规范。

在探究的基础上，由师生共同完成下表，从而对双曲线的几何性质有一整体认识。

4、给出等轴双曲线的定义并让学生求出实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程。

4．3 应用举例，加深理解

例、求双曲线

22

143

x y -=的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程。

通过此例，使学生巩固双曲线的几何性质。

练习：求与双曲线22

1916

x y -=有公共的焦点，

且经过点(3,A -的双曲线的方程。课本61页练习1

4．4 归纳总结，认识升华

在学生总结的基础上，将几何性质进行横向比较和纵向联系。一方面让学生认识渐近

线斜率与离心率的关系即b a a

==从而认识到两者影响双曲线开口大小的

共同规律；另一方面，通过几何画板的演示，将离心率对椭圆、双曲线的图形影响的共性和

特性揭示出来。 五、课后作业

课本61页练习2，3，4 六、板书设计（略）

1、椭圆与双曲线的性质

2、等轴双曲线的定义