数学分析常微分方程(讲课)

以，称方程 ⑴ 为线性的。 特别地，当 Q( x) 0 时，称方程 ⑴ 为 齐次的；当 Q( x) 0 时，称方程 ⑴ 为非齐次的。 例如，方程 y x y sin x 是一阶线性非齐次方程；而方程
y x y 0 是一阶线性齐次方程。
又如，方程 y y 2 x 及 y y y e x 是一阶微分方程，
d 2 y dy (2) x 2 xex 0 dx dx
( 3 ) 3 y 3dy 2xdx 0
( 4 ) y y x 3 y y 1
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程； 当未知函
数是多元函数时，微分方程中必出现未知函数的偏导数，因而称
2y 4y 为偏微分方程。 例如，梁的横振动 b2 0（b2为常数） t2 x4 就是一个重要的偏微分方程。
⑵ x 2 y x y y 3 0 ⑷ 3 y 3 dy 2 x dx 0
d 2Q dQ Q ⑸ L 2 R 0 dt C dt
d sin 2 ⑹ d
⒊ 微分方程的解 如果将某个函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，则 称这个函数为该微分方程的解。 求微分方程解的过程称为解微分方程。 例如，微分方程 y y ，容易验证： 函数 y e x 是它的解。 函数 y C e x （C 为常数）也是它的解。
y y C1 sin x C2 cos x C1 sin x C2 cos x 0
又 y C1 sin x C2 cos x 中有两个独立的任意常数，且微分方
程 y y 0 是二阶的，所以 y C1 sin x C2 cos x 是该微分
方程的通解.
⒉ 齐次方程
例5：求 x y y ( 1 ln y ln x ) 的通解. dy y y 解：方程变为 ( 1 ln ) dx x x y 令 u , 则 y ux x dy du ux dx dx du 则 ux u ( 1 ln u ) dx 1 1 分离变量得 du dx u ln u x 两边积分得 ln ln u ln x ln C
即 ln u C x , u e C x y 以 u 回代 , 通解 y x e C x x
⒊ 一阶线性微分方程
形如
dy P( x) y Q( x) dx
⑴
的方程称为一阶线性微分方程，其中，P( x) , Q( x) 为已知的连续
函数。由于方程 ⑴ 中的未知函数 y 及其导数 y 都是一次的，所
但都不是Leabharlann Baidu性微分方程。
⑴ 一阶线性齐次微分方程
dy P( x) y 0 的解法 ⑴ 一阶线性齐次微分方程 dx
分离变量后，得
dy P( x ) d x y
两端积分，得
方程的通解为
ln y P( x) dx ln C
y Ce
P( x ) d x
dy P( x) y Q( x) 的解法 ⑵ 一阶线性非齐次微分方程 dx
常 微 分 方 程
参考资料： 1. 《高等数学》第六版（下册）第七章，同济大学数学系 编，高教版. 2. 《常微分方程》（第三版），王高雄等编，高教版. 3. 应用常微分方程，金福林等编，复旦大学出版社。 4. 多元分析基础（第八章 偏微分方程），曹华定、罗汉主 编，科学出版社。
目 录
第一节 第二节
2、
⒉ y f ( x , y ) 型的微分方程
dp 解法：令 y p，则 y p. 代入方程，得 dx dp f(x, p) dx
C( x) e

P( x ) d x dx C C( xP() d x ( x) e ) x Q P( x ) d x
C( x) e
P( x ) d x P( x ) d x
[ P( x) d x ]
通解为 y e P( x ) d x ( Q( x) e P( x ) d x C ) dx y C( x) e C( x) e P( x )
解：y ( sin x x ) dx cos x
1 2 x c1 2
y ( cos x
1 3 1 2 x c1 ) dx sin x x c1x c 2 6 2
1 4 1 y cos x x c1x 2 c 2 x c 3 24 2 或 1 4 y cos x x c1x 2 c 2 x c 3 24
例（函授）
⑵ 计算 L 4 x 3 y dx x f ( x) d y，其中 L 是从 (1, 0) 到 ( 2, 3) 的一段弧. Q P ，即 f ( x) x f ( x) 4 x 3 , 解：⑴ 依题意，有 x y y 1 2 ( 2, 3) f ( x ) f ( x ) 4 x , . x
f ( x) e

1 dx x
( 4x e
2

1 dx x dx
C C) x . x
3 3
L2
x 0 (1, 0 ) 1 由 f (1) 2 ，得 C 1，从而求得 f ( x) x . x 3 3 ⑵ 如图，有 L L L 0 0 2 f ( 2) d y 0 17 d y 51.
常数变易法：
P( x ) d x 设方程的解为 y C( x) e ，其中 C( x) 是待定函数。
P( x ) d x P( x ) d x )代入方程，化简得 C( x) Q( x) e 将 、 yx e y y [ C( ] u 将上式两边积分，得d x P( x ) P( x ) d x C( x) e C( x) [ e ]
例2： 求微分方程 y e y sin x 0 的通解.
解：将方程分离变量，得 e y dy sin x dx
两边积分
得方程的通解
e y dy sin x dx cos x e y C
例3：求方程 xy dy dx y 2 dx y dy 的通解 . y 1 解：分离变量 2 dy dx 解：分离变量 x1 y 1 y 1 dy dx 两边积分得 2 x1 y 1 1 ln | y 2 1 | ln | x 1 | c1 两边积分得 2 ln ( y 2 1) ln ( x 1)2 ln c ln | y 2 1 | ln ( x 1 )2 2c1
微分方程的基本概念 一阶微分方程
⒈ 可分离变量的一阶微分方程 ⒉ 齐次方程
⒊ 一阶线性微分方程
第三节 第四节
可降阶的高阶微分方程 二阶常系数线性微分方程
⒈ 二阶常系数线性微分方程解的结构
⒉ 二阶常系数线性微分方程的解法
第一节
⒈ 微分方程
微分方程的基本概念⒈
微分方程
凡含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 如 ( 1 ) ( y )2 2 xyy x 5 0
| y 2 1 | ( x 1 )2 e 2c1 y 2 1 e 2c1 ( x 1 )2
通解： y 2 1 c ( x 1 )2
( c 为任意常数 )
因为 e 2 c1 是不为零的任意常数 , 令 c e 2 c1 ，得方程的通解 y 2 1 c ( x 1 )2 可以验证， 当 c 0 时, y 1 也是方程的解 . 因此通解中的 c 可设为任意常数.
又如，微分方程 y 4 y 0 ，容易验证：
函数 y e 2 x e 2 x 是它的解。 函数 y C1 e 2 x C2 e 2 x （C1、C2 为常数）也是它的解。
由此可知，微分方程的解有两种： ⑴ 微分方程的通解
微分方程的通解与特解
含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶 数，这样的解称为微分方程的通解。 注：含有几个任意常数的函数式，如果它们不能通过运算合 并而使得任意常数的个数减少，则称这函数式中的几个任意常数 相互独的。例如，函数 y C1 x C2 中的两个常数 C1、C2 是相 互独立的， 而 y x C1 C2 中的 C1、C2 可以合并成一个常数 C，故不是独立的。 ⑵ 微分方程的特解 不含任意常数的解称为微分方程的特解。
y e tan x dx [ sec x e tan x dx dx C ] e ln cos x [ sec x e ln cos x dx C ]
cos x ( sec 2 x dx C )
cos x ( tan x C )
例3
dy 例2：求微分方程 ( y 6 x ) 2 y 0 的通解. dx
dy y 一般形式： ⑴ f( ) dx x y 解法：令 u , 则 y u x x dy du ux dx dx du f (u ) 代入方程 ⑴ 得 u x dx 1 1 分离变量得 du dx f (u ) u x y 两端分别积分后再用 代替 u x 便得到原方程的通解 .
⒋ 初始条件
用来确定特解的条件称为初始条件。
例1 验证 y C1 sin x C2 cos x 是微分方程 y y 0 的通解。 解： y C1 cos x C2 sin x , y C1 sin x C2 cos x
把 y 和 y 代入微分方程左端得
第二节 一阶微分方程
⒈ 可分离变量的一阶微分方程
dy 一般形式： f ( x ) g( y ) dx 1 解法： ⑴ 分离变量 dy f ( x) dx , g( y ) 0 g( y ) 1 ⑵ 两边分别对各自的变量积分 dy f ( x) dx , 即得通解. g( y )
2
解：将原方程变形为
dx 3 y x dy y 2
3 dy y
通解
xe

3 dy y
(

y e 2
dy C )
1 2 Cy y 2
3
例3：设函数 f ( x) 可微，且 f (1) 2，又对右半平面 ( x 0 )内任意 闭曲线 C，有 C 4 x 3 y d x x f ( x) d y 0 . ⑴ 求 f ( x) ;
⒉ 微分方程的阶
微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 例如，( y )2 2 x y y x 5 0 是二阶微分方程。 练习：试说出下列微分方程的阶数 ⑴ x ( y )2 2 y y x 0
2 ⑶ x y 2 y x y 0
解法举例：例1 公式法：
dy P( x) y Q( x) dx

通解
P( x ) d x ( Q( x) e P( x ) d x dx C ) ye
例1：求微分方程 ( cos x ) y ( sin x ) y 1 的通解. 解：将原方程变形为 y ( tan x ) y sec x 通解
1 2
.
L1
第三节
可降阶的高阶微分方程
二阶及二阶以上的微分方程，统称为高阶微分方程。本节将 讨论某些特殊的高阶微分方程的求解问题。由于这些高阶微分方 程可以通过适当的变量代换化为较阶的微分方程，故称它们为可 降阶的高阶微分方程，求解这些高阶微分方程所用的方法，称为 降阶法。
1、
⒈ y ( n ) f ( x) 型的微分方程 解法： n 次积分 例 1： 求微分方程 y sin x x 的通解 .