工程流体力学 禹华谦 习题答案 第6章
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第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为
Vx=4x+1;Vy=-4y.
(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?(3)求φ、ψ 解:(1)由于
044=-=∂∂+∂∂y
Vy
x Vx ,故该流动满足连续性方程 (2)由ωz =
2
1(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=)44(21
+-=0, 故流动有势,势函数φ存在,由于该流动满足连续性方程, 流函数ψ存在,. (3)因 Vx y
x ∂∂=∂∂=
ψϕ=4x+1 Vy=
y ∂∂φ=-x
∂∂ψ=-4y
d φ=
x
∂∂φ
dx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy
φ=
⎰d φ=
⎰
x
∂∂φ
dx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (4x+1)dx+(-4y)dy
=2x 2-2y 2+x d ψ=
x
∂∂ψ
dx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy
ψ=
⎰
d ψ=
⎰
x
∂∂ψ
dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰ 4ydx+(4x+1)dy
=4xy+y
6-2 平面不可压缩流体速度分布:
Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y).
(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解:(1)由于
x Vx ∂∂+x
Vy
∂∂=2x +1-(2x +1)=0,故该流动满足连续性方程,流动存在. (2)由ωz =
21(y Vx x
Vy ∂∂-∂∂)=))2(2(21
y y ---=0, 故流动有势,势函数φ存在,由于该流动满足连续性方程,流函数ψ也存在.
(3)因 Vx=
x
∂∂φ =y ∂∂ψ
= x 2-y 2+x, Vy=y ∂∂φ=-x ∂∂ψ=-(2xy+y).
d φ=
x
∂∂φ
dx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(x 2-y 2+x )dx+(-(2xy+y).)dy
φ=
⎰
d φ=
⎰
x
∂∂φ
dx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy =⎰ (x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y))dy
=3
3
x -xy 2+(x 2-y 2)/2 d ψ=
x
∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy
ψ=
⎰
d ψ=
⎰
x
∂∂ψ
dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy =⎰(2xy+y)dx+ (x 2-y 2+x)dy
=x 2y+xy-y 3/3
6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2
-y 2
-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx=
x ∂∂φ =y ∂∂ψ=2x-1,V y =y x y 2-=∂∂-=∂∂ψ
φ,由于x Vx ∂∂+x
Vy ∂∂=0,该流动满
足连续性方程,流函数ψ存在
d ψ=
x
∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy
ψ=
⎰
d ψ=
⎰
x
∂∂ψ
dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰2ydx+(2x-1)dy=2xy-y
在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6
6-4已知平面流动速度势函数 φ=-π
2q
lnr,写出速度分量Vr,V θ,q 为常数。 解: Vr=
r ∂∂φ =-r q π2, V θ=θ
φ∂∂r ==0
6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-m θ+C ,写出速度分量Vr 、V θ, m 为常数 解: Vr=
r ∂∂φ =0, V θ=θφ∂∂r ==-r
m
6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx ,εyy , 求出速度势函数
φ.
解: 因 Vx=
x
∂∂φ =y ∂∂ψ= 1
Vy=
y ∂∂φ=-x
∂∂ψ=-1
d φ=
x
∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy
φ=
⎰
d φ=
⎰
x
∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰dx+(-1)dy=x-y
y
v x v y yy x
xx ∂∂=∂∂=
εε, a x=
0=∂∂+∂∂+∂∂=y Vx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx ; a y =
0=∂∂+∂∂+∂∂=y
Vy
Vy x Vy Vx t Vy dt dVy 6-7 已知平面流动流函数ψ=x 2
-y 2
,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.
解: 因 Vx=
x
∂∂φ =y ∂∂ψ
= -2y
Vy=
y ∂∂φ=-x
∂∂ψ=-2x
d φ=
x
∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy
φ=
⎰
d φ=
⎰
x
∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰-2ydx+(-2x)dy=-2xy
a x=
4=∂∂+∂∂+∂∂=y Vx
Vy x Vx Vx t Vx dt dVx x a y =
4=∂∂+∂∂+∂∂=y
Vy
Vy x Vy Vx t Vy dt dVy y; 6-8一平面定常流动的流函数为