条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)

下面首先看一个例子:
2.1.1 条件概率
【例2.1】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一 个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女 孩出生率相同）．
解：用g代表女孩，b代表男孩， A =“该家庭中至少有一个男孩”， B =“两个都是男孩”，
在已知至少有一个男孩条件下， {bb, bg, gb} A 而 B {bb}
2.1.2 乘法公式
推广2 : 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件, n 2,
且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A A1 A2 ) ... P( An1 A1 A2 An2 )P( An A1 A2 An1 ).
P( AB) P(B A)P( A)
(1.4)
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B)P(B)
(1.5)
上面均称为事件概率的乘法公式．
定理2.1容易推广到求多个事件积事件概率的 情 况．
2.1.2 乘法公式
推广1 : 设 A1, A2 , A3为事件,且 P( A1 A2 ) 0, 则有
P(AB)=P(B)=1/4，
易得
P(B
A)

P( AB) P( A)

1 4
3 4

1. 3
这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如
下定义：
2.1.1 条件概率
定义2.1 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P(B A) P( AB) P( A)
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率．
i1
i1
1.4.1 条件概率
【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有所求概率为 P(B A) P( AB) . P( A)
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；
(2) 规范性：P( | A) = 1；
(3) 可列可加性：设 B1, B2, , Bn, 事件两两互不
相容，则


P( Bi | A) P(Bi A)
i 1
i 1
所以,条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性
质．
2.1.1 条件概率
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 事实上 由于P( A1) P( A1A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义, 且P( A1A2 A3 ) P(( A1A2 ) A3 ) P( A1A2 )P( A3 A1A2 )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 可进一步推广如下:
类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P( A B) P( AB) P(B)
(1.3)
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
2.1.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与 无条件概率P(B)有什么必然的关系.
例如，我们不能由定义断言 P(B) P(B A) 或 P(B) P(B A)
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
(5) P( A B) 1 P( A B).
(6) 可列可加性: 设 B1, B2 , , Bn是两两不相容 的事件, 则有
n
n
P Bi A P(Bi A).
2.1.2 乘法公式
【例2.3】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率．
解：设A = "任取的一件是合格品"，B = "任取 的一件是一等品"． 因为 P( A) 1 P( A) 96%, P(B A) 75% 且B A 所以 P(B) P( AB) P( A)P(B A)
所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ， 称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P(B A) 1/ 3, 故P(B A) P(B).
又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
事实上，当B A时，有
P(B A) P( AB) P(B) P(B). P( A) P( A)
当AB = 时，有 P(B A) 0 P(B)
2.1.1 条件概率
一般地， 0 P(B A) P( AB) P( A) 1
P( A) P( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理：
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B), 所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 .
P( A) 0.8 2
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.2 乘法公式
由条件概率公式容易得到下面定理．
定理2.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0，则
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是
在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率．
96 75 0.72. 100 100
2.1.2 乘法公式
【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电 话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？
解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过3次接通电话”，