拉氏变换2ppt课件

五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续，
且存在一正常数σ，使得
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
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□指数函数 f(t)=e-at (a为常数)
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□正弦函数和余弦函数 由欧拉公式，有：
xo(t) 解：对微分方程左边进行拉氏变换：
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对方程右边进行拉氏变换： 从而
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所以： 查拉氏反变换表得：
当初始条件为零时：
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◇实例2
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在控制理论中，通常：
为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式
式中，p1, p2,…, pn为方程A(s)=0的根，称 为F(s)的极点； 此时，即可将F(s)展开成部分分式。
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◇F(s)只含有不同的实数极点 式中，Ai为常数，称为s=pi极点处的留数。
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P27 例2－14
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由上述实例可见： □应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始
条件已自动包含在微分方程得拉氏变换式中， 因此，不需要根据初始条件求积分常数的值 就可以得到微分方程的全解。 □如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 □系统响应可以分为两部分：零状态响应和零 输入响应
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◇F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、－p2， 其余极点均为各不相同的实数极点，则：
式中，A1和A2的值由下式求解
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部 分别相等即可确定A1和A2的值
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从而
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□单位脉冲函数δ（t）
由洛必达法则：
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□单位速度函数
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□单位加速度函数
函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变 换表直接或通过一定的转换得到。
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●拉氏变换的主要定理 在某些情况下，函数f(t)在t=0处有一个
[r,p,k]=residue(num,den) 其中，r，p分别为展开后的留数及极点构成的列 向量、k为余项多项式行向量。
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若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为： 若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项
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在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示， 系数按降序排列。 如果要输入多项式：x4-12x3+25x+126
>>p=[1 -12 0 25 126] p=1 -12 0 25 126
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用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式, 即：num=[bo b1…bm]
den=[a0 a1… an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开 其句法为：
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注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：
由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2也 为共轭复数。
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由上式两边实部和虚部分别相等，得：
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查拉氏变换表得
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证明：
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◇时间比例尺定理
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●求解拉氏变换的部分分式法 ◇部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解为下列分量： F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) 假定F1(s)，F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换 可以容易地求出，则
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◇终值定理 若sF(s)的所有极点位于左半s平面，即： Limt→∞f(t)存在。则：
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又由于
终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时 的初值相同
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◇卷积定理 其中，f(t)*g(t)表示f(t)和g(t)的卷积。 若t<0时，f(t)=g(t)=0,则f(t)和g(t)的卷积可以 表示为：
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查拉氏变换表得：
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◇F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：
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注意到： 所以：
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Hale Waihona Puke Baidu
第5讲
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◇用MATLAB展开部分分式 设：
脉冲函数。这时必须确定拉氏变换的积分 下限是0－还是0＋，并记为：
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◇叠加定理 □齐次性：L[αf(t)]=αL[f(t)],α为常数 □叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+b[f2(t)] a,b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。
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◇实微分定理 证明：由于
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所以： 同样有：
式中，f’(0),f”(0),……为f(t)的各阶导数在 t=0时的值
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当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时 （零初始条件）：
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◇复微分定理 若L[f(t)]=F(s),则除了F(s)的极点之外，有：
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●应用拉氏变换解线性微分方程 ◇求解步骤 □将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方 程； □解代数方程，得到有关变量的拉氏变化表 达式； □应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
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◇实例1 设系统微分方程为： 若xi(t)=1(t),初始条件分为x’o(0)，xo(0),试求
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积分定理 当初始条件为零时：
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证明：
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同样 当初始条件为零时
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延迟定理 设当t<0时，f(t)=0，则对任意τ≥0，有：
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◇位移定理
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◇初值定理
初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值 与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关 系。