不动点

在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形

式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。

不动点定理fixed-point theorem

如果f 是n+1维实心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的连续映射（n=1，2，3…），则f 存在一个不动点x∈Bn+1（即满足f（x0）=x0）。此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种各样的方程（如代数方程、微分方程、积分方程等）的求解问题，在数学上非常

建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献．这个定理表明：在二维球

面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的．他把

这一定理推广到高维球面．尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射

至少有一个不动点．在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个

复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他就能第

一次处理一个流形上的向量场的奇点．

康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的．1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——

维数的拓扑不变性．在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯

逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的

概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数．实践证明，这些概

念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，布劳威尔就借助它界定了n 维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性．

不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分，该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用。本文首先整合了以往文献关于不动点定理的一些等价形式，然后在H-空间中建立了新型的不动点定理、截口定理及应用。全文共分为三章：第一章，简要介绍本文将要用到的凸分析，拓扑空间和集值映射中相关的概念和性质。第二章，整合了不动点定理的一些等价形式。首先，简单介绍了Brouwer不动点定理的几个重要的推广形式，然后通过一系列证明得出不动点定理的若干等价形式：Brouwer不动点定理(?)KKM定理(?)FKKM定理(?)Ky Fan极大极小不等式(?)Browder不动点定理(?)Ky Fan 不等式Ⅰ(?)Ky Fan极大极小不等式的几何形式(?)Ky Fan截口定理(?)Fan-Browder不动点定理(?)Ky Fan不等式Ⅱ。第三章，首先，介绍了H-空间中一些重要的概念。其次，在H-空间中建立了新的Fan-Browder型

布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就，还是更多更一般的不动点定理的基础，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl 证明n = 3 的情况（发表于《纯綷及应用数学期刊》之内）。后来在1909年，鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer）再次证明。在1910年，雅克·阿达马提供一般情况的证明，而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明。这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明，与数学直觉主义理想矛盾。现在已知如何构造（接近）由布劳威尔不动点定理所保证的不动点，见例

这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如：取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状（但不能撕裂），放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是：将一张白纸平铺在桌面上，再将它揉成一团（不撕裂），放在原来白纸所在的地方，那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界，那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。

这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间（欧几里得平面）的情况，因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

三维空间中的情况：如果我们用一个密封的锅子煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中的不变的，也就

是自转运动的不动点。[1]

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