空间向量求角

平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半
平面的法向量有没有关系？
n

n1
a

n2


l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
cos cos n1 , n2
n1 n2 n1 n2
2
探究方法
n1, n2
cos cos n1 , n2
C
D
cos
|cos CD, AB |

A

B
D1
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
A
O

n
3.二面角：
cos | cos n1 , n2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围


B
n2


n1

[题后感悟]
求直线与平面所成的角的方法与步骤
(1) 用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法 向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为： →； ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量AB →| |n· AB ③求平面的法向量 n； ④计算： 设线面角为 θ， 则 sin θ＝ . → |n|· |AB| (2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三 角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
A1C D1 A
则 cos A1C D1 A ＝ A1C D1 A ＝- . 7 1 即异面直线 A1C 与 AD1 所成的角的余弦值为 . 7
1
• [题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？ • (1)建立适当的空间直角坐标系； • (2) 找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； • (3) 利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角； • (4) 结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
1
2

结论： cos cos n1 , n2
关键：观察二面角的范围
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；
一进一出，二面角等于法 向量夹角
3
实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：
1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；
2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角：
叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
A

n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？

B

结论： sin
O
| cos n, AB |
2. 线面角
设直线l的方向向量为 a，平面 的法向量为 u ，且直 线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),则 a, u 2 2
夹角；
3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
钝角，得出问题的结果．
注意： (1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定 二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同 进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一 进一出，二面角等于法向量的夹角”） (2) 用方向向量法求二面角时，应先在二面角的 二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两 直线，再利用直线方向向量计算； (3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨．

b a
A
a， b
a， b
a
b

结论：
cos
| cos CD, AB |
|
|
解析：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A( 3，0,0)，C(0,2,0)，A1( 3，1， 3)，D1(0,1， 3)， 所以 A1C ＝(－ 3，1，－ 3)， D1 A ＝( 3，－1，－ 3)，
小结
课堂训练与检测：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥面OABC，且 z OS=OC=BC=1，OA=2。求： S ⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值， ⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 ， ⑶二面角B－AS－O的余弦值。
O C A
y
B
x
课堂小结：
1.异面直线所成角：
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）
一、线线角： 范围： 0, 2 异面直线所成的锐角或直角 C D
思考：空间向量的夹角与
D1 异面直线的夹角有什么关系？ B 设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
n1 n2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题3：
法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么
时候互补？
法向量法
n1， n2
n1， n2

n2
n2

l
n1


n1
l

cos

cos n1, n2

cos
cos n , n
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的


2
a, u
a u
sin
au a u
a

l
ห้องสมุดไป่ตู้


u
• 2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰 梯形， AB∥CD ， AC⊥BD ，垂足为 H ， PH 是 四棱锥的高，E为AD中点．
• (1)证明：PE⊥BC； • (2) 若 ∠ APB ＝ ∠ ADB ＝ 60°，求直线 PA 与平 面PEH所成角的正弦值．
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A
二面角的平面角必须满足： l
O B

1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
2
探究方法
问题： 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与