基于非概率可靠性的连续体结构拓扑优化设计

基于非概率可靠性的连续体结构拓扑优化设计*

宋宗凤陈建军朱增青刘国梁

(西安电子科技大学机电工程学院西安 710071)

Email: jjchen@ Tel: +86-29-88204489

摘要：构建了区间载荷作用下区间参数连续体结构的拓扑优化数学模型，以结构形状拓扑信息为设计变量，结构总质量均值极小化为目标函数，满足单元应力非概率可靠性为约束条件。基于区间因子法，导出了应力响应的均值和离差的计算表达式。采用双方向渐进结构优化的求解策略与方法。算例验证了文中模型及求解方法的合理性和方法的有效性。

关键词：区间参数连续体结构；非概率可靠性；区间因子法；拓扑优化Topology Optimization Design of Plain Elastic Continuum Based on Non-probabilistic Reliability SONG Z ONG-F ENG CHEN J IAN-J UN ZHU Z ENG-Q ING LIU G UO-L IANG (School of Electronic Mechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071,

China)

Abstract： The topology optimization mathematical model with stress constraints of plain elastic continuum structures under interval loads is established. The topology model is constructed based on non-probabilistic probability. The weight of this structure is studied as the research objects and the structures elements topological information are regarded as the design variables here. The computational expressions of numerical characteristics of stress responses based on interval factor method are deduced. BESO method is used in the optimization. The example illustrate the correctness and practicability of the optimal model and solving approach in this paper.

Key words：Interval plain elastic continuum structures; Non-probabilistic reliability; Interval factor method; Topology optimization

工程结构中，结构的物理参数、几何参数、边界条件和所受荷载的不确定性是客观存在的。这些不确定性量可能是随机变量、模糊变量或区间变量。随机理论、模糊集理论和区间分析是解决不确定性问题的常用方法[1]。

近年来，在非概率可靠性研究和连续体结构的拓扑优化设计研究方面，一些成果不断涌现。文[2]提出了非概率可靠性模型；文[3]用概率可靠性方法类似的处理；文[4]提出了拓扑优化的有无复合体方法；文[5]利用可退化

*国家863项目(2006AA04Z402)和陕西省自然科学基金项目(2005A009)资助.

有限单元对平面连续体结构进行优化；文[6]提出了基于应力的双方向结构拓扑优化算法。然而，迄今所见到的大部分结构优化设计均属于确定性连续体结构或随机性连续体结构，对区间参数连续体结构的拓扑优化设计的研究迄今甚少。

本文研究了具有区间参数的平面连续体结构在强度非概率约束下的拓扑优化设计问题。考虑结构材料参数、作用载荷和强度约束均为区间变量，借助于区间运算法则，构建了基于非概率可靠性的平面应力薄板结构的拓扑优化数学模型表达式。最后，通过算例来验证文中模型和方法的有效性。 1 区间结构的有限元分析和区间分析的非概率可靠性

设变量x 在区间],[x x 内变化，则称],[x x X x I =∈为区间变量。令

,I C R C R X X X X X ⎡⎤=-+⎣⎦

，其中C X 为区间I X 的均值，R X 为区间I X 的离差。引入区间因子C FI X x x =，则区间变量x 可表为：C FI X x x ⋅=，同样，FI x 也为区间变量，其均值为1，离差为R C X X 为区间变量x 的离差率。可见，区间因子FI x 的取值范围同样描述了区间变量x 的取值分散不确定性。

设平面连续体结构有n 个矩形单元，则任意e 单元的刚度矩阵为：

B B e T e dxdy =⎰⎰K D 1,

,e n = (1)

式中：B 为单元几何矩阵，它只与几何参数有关，故为定常矩阵；D 为弹性矩阵。为处理方便，这里将参数μ视为确定性量。由于弹性模量],[R C R C E E E E E +-∈为区间变量，引入E 的区间因子FI E ，则C FI E E E =⋅，故单元弹性矩阵D 、刚度矩阵e K 以及结构的总刚度阵K 可分别表示为：

C D D ⋅=FI E (2)

()e e C FI E =⋅K K ，1,

,e n = (3) n

e C FI e E ==⋅∑K K K (4)

其中C D 、()e C K 和C K 分别为当E 取其均值C E 时单元的弹性矩阵、刚度矩阵和结构总刚度阵。

载荷P 具有不确定性的一般情况是非常复杂的，这里只考虑载荷的幅值