第二章平面力系和平面力偶系

于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点， 是一个自由矢量。计算力系Fi对固定点O的力矩的 矢量和，称为力系对点O的主矩。记为MO 它不仅 取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取 决于矩心的选择。因此，主矩是定位矢量。
二、简化结果分析与合力矩定理
平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以下几种情况：
FR
只要满足：
O’
O’
FR FR ,
dLO FR
合力矩定理——平面任意力系的合力对作用面内任一点 之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
M O ( FR) M O ( F )
第六节 平面任意力系的平衡方程及应用
物体在力系作用下，保持平衡的充分必要条件是:力系
的主矢与对任一点的主矩均为零 ，即：
(F )
0 0
限制A、B两点的连线AB不能垂直于x轴。
xF sinyF co sxyF yxF
二、力偶
1、力偶及其性质 力偶：两力大小相等、作用线不重合的反向平行力叫力偶。
力偶使物体转动效应一般通过力偶 矩来衡量，力偶矩的大小为Fd， 方向由右手法则确定，平面力偶矩 也为代数量，用M（F，F′）来表 示，即
M（F，F′）=±2S△ABC
由此可以推出
这种约束不但限制物体在约 束处沿任意方向的线位移， 也限制物体在约束处的角位 移，即物体在A端没有移动 和转动。
MA FAx
A
FA y
固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分 力和一个力偶表示；
第五节 平面任意力系的简化
一、力系向平面内任意一点的简化
平面任意力系的简化主要依据是力线平移定理，简化的 实质是将一个平面任意力系分解为一个平面汇交力系和 一个平面力偶系，然后将这两个力系进行合成 。
主矢 F R 'F 1 F 2 F 3 F
主矩
L 0M 1M 2M 3
M 0(F 1)M 0(F 2)M 0(F 3)
M(F ) 0
由合力投影定理，将上式写成解析形式，得：
F R 'F R x 2 F R 'y 2( X )2 ( Y )2
tan1FRy tan1 Y
FRx
X
设刚体受到力系Fi (i=1, 2,…,n)作用，诸作用点相 对固定点O的矢径依次为ri (i=1, 2,…,n)。力系Fi的 矢量和，称为力系的主矢。记为FR, 主矢仅取决
X 0 , Y 0 , M O F 0
上式称为平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分别为：
X0M MBA或 FFY00 0
M M M
A B C
F F F
0 0 0
条件是：AB两点的连线不能 与 x 轴或 y 轴垂直
条件是：ABC三点不 能共线
1、二矩式
X 0
m m
A B
(F )
方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示 为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂 直距离h称为力臂。
2、合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩等于力系 中所有各分力对同一点之矩的代数和，即
n
MO(F) MO(Fi)
i1
3、力矩与合力矩的解析表达式
M O(F)M OFy M OFx
F R y Y 1 Y 2 Y 3 Y 4Y
FRx X
FRy Y
第二节 平面汇交力系的合成与平衡
一、平面汇交力系的合成 1.几何法
1）两个共点力的合成
由余弦定理：
F RF 12F 222F 1F 2c（ o 1so 8 0 ）
由力的平行四边形法则合成， 合力方向由正弦定理：
也可用力的三角形法则合成。
平面汇交力系平衡的充要条件是：
FRF0
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是：
力多边形自行封闭或力系中各力的矢量 和等于零。
三、平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡的充要条件是：
F R0 F RF Rx2F Ry20
FRx X 0 FRy Y 0
(1 ) F R ' 0,L O 0 (2 ) F R ' 0,L O 0 (3 ) F R ' 0,L O 0 (4 ) F R ' 0,L O 0
FR
O
MO
称该力系平衡
该力系等效一个合力偶
该力系等效一个合力
仍然可以继续简化为一个合力，方法如下：
O
FR
d FR
O
FR
d
Baidu NhomakorabeasF i1n s
FR
in 1(80 )
2）任意个共点力的合成 ( 力多边形法） 推广至 n 个力
结论：F RF 1 F 2 F 3 F n
即 FRF
先作力多边形
c b
d
再将R 平移 至A点
平面汇交力系的合力等 于各分力的矢量和，合力 的作用线通过各力的汇交 点。
a
e
二、平面汇交力系平衡的几何条件
n
MM 1M2Mn M i i1
即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶 矩的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。
n
Mi 0
i 1
第四节 力线的平移定理
一、力线平移定理 作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点， 但同时必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原 力对该点之矩。
MM(F,F'')Fd
MB(F)Fd MMB(F)Fd
由证明过程可以归纳出：
❖ （1）力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力等效与 力和力偶的共同作用；
❖ （2）力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关， M=Fd；
❖ （3）力线平移定理是力系简化的理论基础。
二、固定端约束
在工程实际中，有很多构件的一部分嵌固 于另一物体上而受到约束作用，这样的约 束称为固定端约束。
注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。利用 平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设， 如果求出负值，说明力的方向与假设相反。
第三节 力矩、平面力偶系的合成与平衡
一、力对点的矩
1.力矩的概念和性质 将力F对点O的矩定义为：力F的大 小与从O 点到力F的作用线的垂直 距离的乘积，即
MO(F)Fh
第一节 力在坐标轴上的投影
研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影
X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin
F X2Y2 Fx2Fy2
cosXFx
FF
cosY Fy
FF
合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数
和。
F R xX 1X 2X 4 X