1.5.3定积分的概念

(1)分割: 在[0,1]上等间隔地插入n 1个分点,把[0,1]等分成n个小
区间 i
1, n
i n
(i
1,2,...,n),每个小区间的长度为x
i n
i
1 n
1 n
.
(2)近似代替、作和: 取i
1 n
(i
1,2,...,n),则
1 0
x3dx
Sn
n i 1
f i x n
n
i
3
ti ti ti1 (i 1,2,, n)
O T1 t0 t1
ti1 i
tn1 tn= T2 t
（2）近似替代：把每小段[ti1,ti ]上的运动视为匀速，任
取时刻i [ti1,ti ]，作乘积V (i )ti，显然这小段时间所走路程
Si 可近似表示为：
si v i ti i 1,2,,n
第i段路程值
第i段某时刻的速度
（3）求和：把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总
路程S 的近似值，即
n
n
S Si V (i )ti
i1
i1
（4）取极限：当 n 时，上述总和的极限就是S 的精
确值，即
n
S
lim
n
i 1
V
( i
)ti
步骤：分割，近似，求和，取极限
经过这四个步骤的分析计算，得到的结论是变速直线运 动的物体在时间间隔[T1,T2 ]上的路程也是一个和式的极限。
性质 4 积分的上下限对换则积分变号，即
1
i1 n n
1 n4
n
i3
i 1
1 n4
1 4
n2 ห้องสมุดไป่ตู้n
1) 2
1 4
1
1 n
2
(3)取极限 :
1 0
x3dx
lim S
n
n
lim
1
1
1
2
n 4 n
1. 4
四、定积分的性质
性质 1 被积函数的常数因子可以提到积分符号外面，
即
b
a
kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
（k 为常数）
围成的曲边梯形位于 x轴的下方，
A
如图
4-3
所示，定积分
b
a
f
(
x)dx
在几
何上表示上述曲边梯形的面积的负值。
b
A a f (x)dx
3.
4.
5. 如果在[a,b]上 f (x)既取正值又取负值时，函数 f (x)的图
形某些部分在 x 轴的上方，而其他部分在 x 轴的下方，如图
4-4
所示，则定积分
二、定积分的定义
如果函数f (x)在区间a,b上连续,用分点
a x0 x1 x2 ... xi1 xi ... xn b
将区间a, b等分成n个小区间, 在每个小区
间 xi1, xi 上任取一点i (i 1,2,...,n),作和式
n
i 1
f (i )x
n i 1
b
n
a
f
(
n
A lim n
i 1
f (i )xi（和式的极限）
（4-2）
步骤：分割，近似，求和，取极限
类似想法、方法还有许多应用，比如在物理学里，已知 一物体沿直线运动，速度V V (t)是时间t 函数，计算在[T1,T2 ] 这段时间内所经过的路程S 。
仿照上面方法： （１）分割：任取分点T1 t0 t1 tn1 tn T2，把[T1,T2 ] 分成n个小区间，每个小区间长为
为：
曲边梯形面积
A
b
a
f
(
x)dx
变速直线运动的路程S
VT 2 T
(t)dt
1
两点注意：
（1）定积分为一确定常数，其值与被积函数，积分区
间有关；与积分变量无关。即有
b
a
f
(
x)dx
b a
f
(t)dt
b a
f
(u)du。
（2）补充定义：当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
0；当
a>b
时，
b
a
f
(x)dx
a b
Ai f (i )xi (i 1,2,, n)
y
o a x1
b xi1ixi xn1
x
（3）求和：把 n 个小矩形面积相加就得到曲边梯形面
积 A的近似值。即
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
（4-1）
（4）取极限：无限细分区间[a,b]，和式（4-1）的极限
值是曲边梯形的面积 A，即
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形.任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ， 把 底 边[a,b]分 成 n 个 小 区 间 [xi1, xi ] (i 1,2,, n).
y
o a x1
b xi1 xi xn1
x
（2）近似替代：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积。在第i个小区间上任取一点i (i 1,2,,n) ，作以[xi1, xi ]为 底， f (i )为高的小矩形，用其面积近似代替第i 个小曲边梯 形的面积Ai ，
b
a
f
(
x)dx
可用四个曲边梯形面积的代数和
表示
A1 A2
A3 A4
b
a
f
( x)dx
A1
A2
A3
A4
尽管定积分
b
a
f
(
x)dx在各种实际问题中的意义各不相同，
但它的值在几何上都可以用曲边梯形的面积来表示.
例1.利用定积分的定义 ,计算 1 x3dx的值. 0
解 : 令f (x) x3.
性质 2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的
代数和，即
b[ a
f
(x)
g ( x)]dx
b
a
f
(x)dx
b
a
g
(x)dx
这个性质对有限个函数的代数和也成立.
性质 3 如果将区间[a，b]分成两个区间[a，c]及[c，b]，那
么有
b
a
f
( x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
这个性质对区间分成有限个的情形也成立。
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区
域的面积.
n 1
S lim n i0
f (xi )x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
n 1
W
lim n i0
f (xi )x
一、复习回顾
求解曲边梯形面积的步骤：
i
),
当n 时,上述和式无限接近某个常数,这
个常数叫做f (x)在区间a,b上的定积分,记
作 b f (x)dx, a
即
b a
f (x)dx
n
lim
n i1
ba n
f (i ).
其 中：
积分上限
b
a
f
( x)dx
积分下限
被 积
被 积
积 分
函
表变
数
达量
式
[a,b] 积分区间
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示
f
(x)dx。
三、定积分的几何意义
1.如果在[a,b]上 f (x) 0时，定积
分
b
a
f
(
x)dx
在几何上表示由曲线
y f (x)， x轴以及直线 x a，
x b围成的曲边梯形的面积。
2.如果在[a,b]上 f (x) 0时，由曲线
y y f (x)
A
oa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
y f (x)， x轴以及直线 x a， x b