第10章 方差分析
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10 - 25
统计学
STATISTICS (第五版)
10.2
单因素方差分析
10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4
数据结构 分析步骤 关系强度的测量 方差分析中的多重比较
10 - 26
统计学
STATISTICS (第五版)
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的有关术语
1. 试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素 4 水平的
试验
2. 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体
3. 样本数据
被投诉次数可以看作是从这 4 个总体中抽取的样
每个行业被投诉的次数
10 - 9
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析?
(例题分析)
水平
消费者对四个行业的投诉次数 行业
因素、因子
观察值
观测值
零售业
旅游业
航空公司
家电制造业
1 2 3 4 5 6 10 7 - 10
57 66 49 40 34 53 44
68 39 29 45 56 51
取的 比如，4个行业被投诉次数的方差都相等
3. 观察值是独立的 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉
10 - 20
的次数独立
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 4个正态总体的均值是否相等 2. 如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的 均值也会很接近 4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等的
10 - 13
» Í ² ¬ Ð Ò µ ± » Í ¶ Ë ß ´ Î Ê ý µ Ä É ¢ µ ã Í ¼
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(图形分析)
1. 从散点图上可以看出
不同行业被投诉的次数有明显差异
家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较 低
1. 散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被 投诉的次数之间有显著差异
这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析
所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分 析时，需要考察数据误差的来源
同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同
2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系
因为：如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所 呈现的模式就不应该是折线，而应该是直线
10 - 14
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(误差分解)
10 - 28
统计学
STATISTICS (第五版)
提出假设
H0 ：m1 = m2 =…= mk
自变量对因变量没有显著影响
1. 一般提法
• 自变量对因变量有显著影响 2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异
比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异（它反映了不同 样本数据之间的离散程度）
这种差异 可能 是由于抽样的随机性所造成的，也可能
是由于行业本身的系统性因素造成的，称为系统误差
10 - 16
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
10 - 8
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的有关术语
1. 因素或因子(factor) 所要检验的对象
分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子
2. 水平或处理(treatment)
因子的不同表现
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业
3. 观察值
在每个因素水平下得到的样本数据
STATISTICS (第五版)
10.1 方差分析引论
方差分析及其有关术语 方差分析的基本思想和原理 方差分析的基本假定 问题的一般提法
10.1.1 10.1.2 10.1.3 10.1.4
10 - 3
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析及其有关术语
10 - 4
统计学
STATISTICS (第五版)
X来自百度文库
统计学
STATISTICS (第五版)
问题的一般提法
10 - 24
统计学
STATISTICS (第五版)
问题的一般提法
1. 设因素有 k个水平，每个水平的均值分别用 m1 , m2, , mk 表示 2. 要检验 k 个水平 ( 总体 ) 的均值是否相等，需要提出如 下假设： H0 ： m1 m2 … mk H1 ： m1 , m2 , ，mk 不全相等 3. 设m1为零售业被投诉次数的均值，m2为旅游业被投诉 次数的均值，m3为航空公司被投诉次数的均值，m4为 家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为 H0 ： m1 m2 m3 m4 H1 ： m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和
10 - 17
既包括随机误差，也包括系统误差
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(均方—MS)
由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消除观测值多少 对误差平方和大小的影响，需要将其平均，也就是用均方表示 2. 均方：即误差平方和除以相应的自由度，记为MS ∵SST的自由度为n-1，SSA的自由度为k-1，SSE的自由度为n-k。 ∴MSA=SSA/k-1; MSE=SSE/n-k H0:μ1=μ2=……=μk，H1：μ1，μ2，……，μk不全相等 1. 若原假设成立(即不同行业对投诉次数没有影响) ,表明没有系统误差, 只有随机误差,则组间均方MSA与组内均方MSE的数值就应该很接近 2. 若原假设不成立，说明各水平之间的差异不仅仅有随机误差，还有系 统误差，则组间均方MSA会大于组内均方MSE 3. 当MSA/MSE这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在 着显著差异，即自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数 的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系 统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响 4. 因此，在满足方差分析的假定前提下，要分析自变量对因变量是否有 10 - 18 显著影响，形式上也就转化为检验自变量的各个水平的均值是否相等 1.
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
10 - 5
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
1. 假设检验一章学过可以用Z/t检验来进行两均值之差的检 验。 设4个总体的均值分别为μ1， μ2， μ3， μ4，如果用一般假
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本假定
10 - 19
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正
态分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布
2. 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的正态总体中抽
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析?
(例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会 在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消 费者对总共23家企业投诉的次数如下表
消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
1 2 3 4 5 6 10 7 -7
设检验的方法（Z/t检验），一次只能研究两个样本，要检验4 个总体的均值是否相等，需要做6次检验： 检验1：H0: μ1=μ2; 检验2：H0: μ1=μ3; 检验3：H0: μ1=μ4; 检验4：H0: μ2=μ3; 检验5：H0: μ2=μ4; 检验6：H0: μ3=μ4。
2. 这样两两比较太繁琐，并且进行个体显著性检验的次数 太多，会导致偶然性带来的误差的增加。方差分析可同 时考虑多个样本，因此排除了累积错误的概率。 3. 方差分析：就是通过检验各总体的均值是否相等来判断 分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。 10 - 6
本数据
10 - 11
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
10 - 12
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(图形分析—散点图)
80 60
ý Î Ê ß ´ ¶ Ë ±Í »
40 20 0 0
零售业 1 旅游业 2 航空公司 3 家电制造 4
5 Ð Ò µ
证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越 充分
10 - 21
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中基本假定
如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4
4个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一 正态总体
因素(A) i 水平A1 水平A2 … 水平Ak
观察值 ( j )
1 2 : : n
10 - 27
x11 x12 : : x1n
x21 x22 : : x2n
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
统计学
STATISTICS (第五版)
分析步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
f(X)
m1 m2 m3 m4
10 - 22
X
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中基本假定
若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等
至少有一个总体的均值是不同的 4个样本分别来自均值不同的4个正态总体
f(X)
m3 m1 m2 m4
10 - 23
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
1. 形式上：检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等 2. 本质上：研究分类型自变量对数值型因变量 的影响
一个或多个分类型自变量
两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
一个数值型因变量
单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
(误差平方和—SS)
1. 在方差分析中，数据的误差用平方和(sum of squares)来表示，总平方和，记为SST 2. 组内平方和(within groups)，记为SSE 因素的同一水平下数据误差的平方和
比如，零售业被投诉次数的误差平方和
只包含随机误差 3. 组间平方和(between groups)，记为SSA 因素的不同水平之间数据误差的平方和
10 - 15
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(两类误差)
1. 随机误差
因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异
比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异（它反映了 一个样本内部数据的离散程度）
这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差
2. 系统误差
统计学
STATISTICS (第五版)
第10章 方差分析
10.1 方差分析引论 10.2 单因素方差分析
10 - 1
统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
1. 2. 3. 4.
解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 理解多重比较的意义
10 - 2
统计学
57 66 49 40 34 53 44
68 39 29 45 56 51
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析4个行业之间的服务质量是否有显著差异 ，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是 否有显著影响 2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业 被投诉次数的均值是否相等 3. 若它们的均值相等，则意味着“行业”对投 诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质 量没有显著差异；若均值不全相等，则意味 着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之 间的服务质量有显著差异
统计学
STATISTICS (第五版)
10.2
单因素方差分析
10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4
数据结构 分析步骤 关系强度的测量 方差分析中的多重比较
10 - 26
统计学
STATISTICS (第五版)
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的有关术语
1. 试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素 4 水平的
试验
2. 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体
3. 样本数据
被投诉次数可以看作是从这 4 个总体中抽取的样
每个行业被投诉的次数
10 - 9
统计学
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什么是方差分析?
(例题分析)
水平
消费者对四个行业的投诉次数 行业
因素、因子
观察值
观测值
零售业
旅游业
航空公司
家电制造业
1 2 3 4 5 6 10 7 - 10
57 66 49 40 34 53 44
68 39 29 45 56 51
取的 比如，4个行业被投诉次数的方差都相等
3. 观察值是独立的 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉
10 - 20
的次数独立
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 4个正态总体的均值是否相等 2. 如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的 均值也会很接近 4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等的
10 - 13
» Í ² ¬ Ð Ò µ ± » Í ¶ Ë ß ´ Î Ê ý µ Ä É ¢ µ ã Í ¼
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(图形分析)
1. 从散点图上可以看出
不同行业被投诉的次数有明显差异
家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较 低
1. 散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被 投诉的次数之间有显著差异
这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析
所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分 析时，需要考察数据误差的来源
同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同
2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系
因为：如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所 呈现的模式就不应该是折线，而应该是直线
10 - 14
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(误差分解)
10 - 28
统计学
STATISTICS (第五版)
提出假设
H0 ：m1 = m2 =…= mk
自变量对因变量没有显著影响
1. 一般提法
• 自变量对因变量有显著影响 2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异
比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异（它反映了不同 样本数据之间的离散程度）
这种差异 可能 是由于抽样的随机性所造成的，也可能
是由于行业本身的系统性因素造成的，称为系统误差
10 - 16
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
10 - 8
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的有关术语
1. 因素或因子(factor) 所要检验的对象
分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子
2. 水平或处理(treatment)
因子的不同表现
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业
3. 观察值
在每个因素水平下得到的样本数据
STATISTICS (第五版)
10.1 方差分析引论
方差分析及其有关术语 方差分析的基本思想和原理 方差分析的基本假定 问题的一般提法
10.1.1 10.1.2 10.1.3 10.1.4
10 - 3
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析及其有关术语
10 - 4
统计学
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X来自百度文库
统计学
STATISTICS (第五版)
问题的一般提法
10 - 24
统计学
STATISTICS (第五版)
问题的一般提法
1. 设因素有 k个水平，每个水平的均值分别用 m1 , m2, , mk 表示 2. 要检验 k 个水平 ( 总体 ) 的均值是否相等，需要提出如 下假设： H0 ： m1 m2 … mk H1 ： m1 , m2 , ，mk 不全相等 3. 设m1为零售业被投诉次数的均值，m2为旅游业被投诉 次数的均值，m3为航空公司被投诉次数的均值，m4为 家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为 H0 ： m1 m2 m3 m4 H1 ： m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和
10 - 17
既包括随机误差，也包括系统误差
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(均方—MS)
由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消除观测值多少 对误差平方和大小的影响，需要将其平均，也就是用均方表示 2. 均方：即误差平方和除以相应的自由度，记为MS ∵SST的自由度为n-1，SSA的自由度为k-1，SSE的自由度为n-k。 ∴MSA=SSA/k-1; MSE=SSE/n-k H0:μ1=μ2=……=μk，H1：μ1，μ2，……，μk不全相等 1. 若原假设成立(即不同行业对投诉次数没有影响) ,表明没有系统误差, 只有随机误差,则组间均方MSA与组内均方MSE的数值就应该很接近 2. 若原假设不成立，说明各水平之间的差异不仅仅有随机误差，还有系 统误差，则组间均方MSA会大于组内均方MSE 3. 当MSA/MSE这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在 着显著差异，即自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数 的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系 统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响 4. 因此，在满足方差分析的假定前提下，要分析自变量对因变量是否有 10 - 18 显著影响，形式上也就转化为检验自变量的各个水平的均值是否相等 1.
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
10 - 5
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
1. 假设检验一章学过可以用Z/t检验来进行两均值之差的检 验。 设4个总体的均值分别为μ1， μ2， μ3， μ4，如果用一般假
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本假定
10 - 19
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正
态分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布
2. 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的正态总体中抽
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析?
(例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会 在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消 费者对总共23家企业投诉的次数如下表
消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
1 2 3 4 5 6 10 7 -7
设检验的方法（Z/t检验），一次只能研究两个样本，要检验4 个总体的均值是否相等，需要做6次检验： 检验1：H0: μ1=μ2; 检验2：H0: μ1=μ3; 检验3：H0: μ1=μ4; 检验4：H0: μ2=μ3; 检验5：H0: μ2=μ4; 检验6：H0: μ3=μ4。
2. 这样两两比较太繁琐，并且进行个体显著性检验的次数 太多，会导致偶然性带来的误差的增加。方差分析可同 时考虑多个样本，因此排除了累积错误的概率。 3. 方差分析：就是通过检验各总体的均值是否相等来判断 分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。 10 - 6
本数据
10 - 11
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
10 - 12
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(图形分析—散点图)
80 60
ý Î Ê ß ´ ¶ Ë ±Í »
40 20 0 0
零售业 1 旅游业 2 航空公司 3 家电制造 4
5 Ð Ò µ
证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越 充分
10 - 21
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中基本假定
如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4
4个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一 正态总体
因素(A) i 水平A1 水平A2 … 水平Ak
观察值 ( j )
1 2 : : n
10 - 27
x11 x12 : : x1n
x21 x22 : : x2n
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
统计学
STATISTICS (第五版)
分析步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
f(X)
m1 m2 m3 m4
10 - 22
X
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中基本假定
若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等
至少有一个总体的均值是不同的 4个样本分别来自均值不同的4个正态总体
f(X)
m3 m1 m2 m4
10 - 23
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
1. 形式上：检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等 2. 本质上：研究分类型自变量对数值型因变量 的影响
一个或多个分类型自变量
两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
一个数值型因变量
单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
(误差平方和—SS)
1. 在方差分析中，数据的误差用平方和(sum of squares)来表示，总平方和，记为SST 2. 组内平方和(within groups)，记为SSE 因素的同一水平下数据误差的平方和
比如，零售业被投诉次数的误差平方和
只包含随机误差 3. 组间平方和(between groups)，记为SSA 因素的不同水平之间数据误差的平方和
10 - 15
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(两类误差)
1. 随机误差
因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异
比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异（它反映了 一个样本内部数据的离散程度）
这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差
2. 系统误差
统计学
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第10章 方差分析
10.1 方差分析引论 10.2 单因素方差分析
10 - 1
统计学
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学习目标
1. 2. 3. 4.
解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 理解多重比较的意义
10 - 2
统计学
57 66 49 40 34 53 44
68 39 29 45 56 51
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58
统计学
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什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析4个行业之间的服务质量是否有显著差异 ，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是 否有显著影响 2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业 被投诉次数的均值是否相等 3. 若它们的均值相等，则意味着“行业”对投 诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质 量没有显著差异；若均值不全相等，则意味 着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之 间的服务质量有显著差异