磁悬浮小球仿真报告

磁悬浮小球控制仿真报告

一．仿真要求

采用根轨迹和频域法仿真磁悬浮小球系统 二．系统建模

磁悬浮系统方程可以由下面的方程描述：

22

d x(t)

m

F(i,x )mg dt =+动力学方程 2i

F(i,x )K()x

= 电学力学关联方程

(,)+=F i x mg 0 边界方程

()()=+1

di

U t Ri t L dt

电学方程 对2x

i

K x i F )(),(=泰勒展开：

)x -)(x x ,(i F )i -)(i x ,(i F )x ,F(i x)F(i,000x 000i 00++= )x -(x K )i -(i K )x ,F(i x)F(i,0x 0i 00++=

平衡点小球电磁力和重力平衡，有

(,)+=F i x mg 0

|,δδ===

00i 00i i x x F(i,x)F(i ,x )i ；|,δδ===00

x 00i i x x F(i,x)

F (i ,x )x

对2

i

F(i,x )K()x

=求偏导数得：

==-2

0x x 003

02Ki K F (i ,x )x ==0

i

i 00202Ki K F(i ,x )x

此系统的方程式如下：

x x 2Ki i x 2Ki )x -(x K )i -(i K dt x

d m 30

2

02000x 0i 22-=+= 拉普拉斯变换后得：

)()()(s x mx 2Ki s i mx 2Ki s s x 3

2

2002

-= 由边界方程 )20

2

0x i

K(mg -= 代入得系统的开环传递函数：

200

x(s)-1

=

i(s)a s -b 定义系统对象的输入量为控制电压in U ，系统对象输出量为x 所反映出来的输出电压为out U ，则该系统控制对象的模型可写为：

out s s a 2in a 00

U (s)K x(s)-(K /K )

G(s)=

==U (s)K i(s)a s -b

00000

i i a =

, b =2g x 特征方程为：2

00a s -b =0

解得系统的开环极点为：s =取系统状态变量分别为1out 2

out x =u ,x =u &

系统的状态空间表示法如下：

•11in s •2200

a 0 1 0x

x =+u 2g 2g?K 0-x x x i ?K ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ][121x x x 0 1y =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

代入实际参数，可以得到

in 2121U 124990x x 0098010

x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛••..

系统的状态方程可以写为

⎪⎩⎪⎨⎧=+=•CX

Y BU AX X in 故Y U in -间的传递函数为 B A)(sI C s U s Y s G 1T in 0--==)

()()(

将以上参数值代入有

5250

300.0311s 77.8421

s G 2

0.)(-=

三．根轨迹法仿真

根据系统模型，采用根轨迹法设计一个控制器 对于传递函数5250

300.0311s 77.8421

s G 20.)(-=

的系统，设计控制器，使得校正后系

统达到以下指标：调整时间2s(%2)0t s .=；最大超调量%10M p ≤；稳态误差

=2%∆；

步骤如下：

1) 确定闭环期望极点d s 的位置，由最大超调量

p M e

10(%ζπ

-=≤

可以得到： =0.591ζ；近似取0.6ζ≈； 由cos()ζθ=；可以得到：=0.938θ(弧度)。

性能指标与根轨迹关系图

又有：2s 04t n

s .≤=ζω

可以得到：3383n ω=.，于是可以得到期望的闭环极点为：

3383.(cos()j sin())θθ-±

2) 未校正系统的根轨迹不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为： c c

c c

c

Ts +1k s -z G (s)=k =αTs +1αs -p

)(1≤α

3) 计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极

点的相角和为：

-1-1d 33.8321Sin(θ)33.8321Sin(θ)G(s )=-tan -tan 33.8321Cos(θ)-31.329133.8321Cos(θ)+31.3291=-3.803

⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ 因此校正装置提供的相角为：31438030661.(.).φ=---=

4) 设计超前校正装置，已知：=0.938θ

对于最大的α值的γ角度可由下式计算得到：)(φθπγ--=

2

1

磁悬浮根轨迹计算图

所以有：10.7712

()γπθϕ=--=

按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为：

c z 2376.=-，c p 4805.=-

校正后系统的开环传递函数为： ()()

c c o k (s+23.76)2502.96

G (s)G (s)=

αs+48.05s+31.33s -31.33