第十三章 电磁感应 电磁场习题解答

第十三章 电磁感应 电磁场 （Electromagnetic inductor ）

计算题

13-1 .如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度υ沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求 ： (1)在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量Φ；（2）在图示位置时矩形线圈中的电动势ε。

I

a b

υ

l

题13-1图

解：(1) ()0d d 2S

I t l r r μΦπ=⋅=⎰⎰B S ⎰++π=t

b t a r r l I v v d 20

μ0ln 2I l b t a t μυπυ+=+ (2) 依据法拉第电磁感应定律得00d d 2()t lI b a t ab

μυεπ=-=-

=Φ

13-2 如题图所示，长直导线AB 中的电流I 沿导线向上，并以d I /d t =2 A/s 的变化率均匀增长。导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图

所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。（7

0410T m/A μπ-=⨯⋅）

题13-2图

解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程

y =-2x + 0.2 (SI )

取瞬时针方向为线框的绕行方向，则在直角三角形线框所围平面上的磁通量为

0000

d 202

[]d 2π0052005.(.).b

b Iy x

I x x x x μμΦπ-+==++⎰⎰ 00015005

ln

005

...Ib I b μμππ+=-

+＝2.59×10-8 I (SI )

三角形线框中的感应电动势为

88d d 2591051810V d d ..I

t t

Φε--=-

=-⨯=-⨯ 即电动势的大小为8

5.1810V -⨯，方向为逆时针。

13-3 题图所示,载有电流的I 长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a 。设半圆环以速度 υ平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压N M V V -。

题13-3图

解：动生电动势

()d MeN MN

ε=

⨯⋅⎰υB l

为计算简单，可引入一条辅助线MN ，构成闭合回路MeNM , 闭合回路总电动势

0MeN NM MeN NM MN εεεεεε=+=⇒=-=

()0d d 2a b

MeN MN

a b

I

x x

μευ

π+-=

⨯⋅=-⎰⎰υB l 0ln

2I a b a b μυ+=-π- 负号表示MN ε的方向与x 轴相反，所以

0ln

2M N MN I a b U U a b

μυεπ+-=-=

- 13-4 求长度为L 的金属杆在均匀磁场B 中绕平行于磁场方向的定轴OO ＇转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B 的方位角为θ，杆的角速度为ω，转向如题图(a)所示。

B

O ’

O

ω

θ

L

B

’

ω

θ

l

d l

α

B

υ⨯(a)(b)

题13-4图

解：在距O 点为l 处的d l 线元中的动生电动势为

()l B υd d ⋅⨯=ε

所以，

()θωθωαπ

υε222sin 21

d sin d cos 2sin

d BL l lB l B L

L

L

===⋅⨯=⎰⎰⎰l B υ， ε的方向沿着杆指向上端。

13-5如题图所示，一长直导线中通有电流I ，有一垂直于导线、长度为l 的金属棒AB 在包含导线的平面内，以恒定的速度υ沿与棒成θ角的方向移动。开始时，棒的A 端到导线的距离为a ，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高。

题13-5图

解：如图建立坐标系，t 时刻在坐标为x 处取线元矢量元i l x d d =，则

()x x I x x x x d 2cos 2sin 2d 2

1

21

0⎰

⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⋅⨯=θππυπμεl B υ 式中，

θυ++=cos 2t l a x ，θυ+=cos 1t a x

所以，

θ

υθ

υθυπμεcos cos ln

sin 20t a t l a I +++-

= ，A 端的电势高。 13-6 如题图所示，长直导线中电流为i ，矩形线框abcd 与长直导线共面，且ad ∥A B ，dc 边固定，ab 边沿da 及cb 以速度υ无摩擦地匀速平动；0t =时，ab 边与cd 边重合。设线框自感忽略不计。

(1)如i =I 0，求ab 中的感应电动势．ab 两点哪点电势高？

(2)如t I i ωcos 0=，求ab 边运动到图示位置时线框中的总感应电动势。

解：(1)

ab 直线上的磁场不均匀，建立坐标ox ，x 沿ab 方向，

原点在长直导线处，则x 处的磁感应强度为 习题13-6图

02i

B x

μπ=

， （式中 i =I 0） 在坐标为x 处取线元矢量元i l x d d =，则ab 中的感应电动势为

i

l 1

l 0

l 2 a c

d υ