第八章 期权及其二叉树模型

期权定价公式三个有趣的性质： 期权定价公式三个有趣的性质： 1.期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。 1.期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资 期权的价格不依赖于股票价格上升的概率 者对股票上升的概率有不同的判断, 者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能接受 相关联的期权价值， 与u， d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身是 引起投资者对q的不同判断的根源。 引起投资者对q的不同判断的根源。 投资者对风险的态度与期权定价公式无关, 2. 投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结 果只假设人们偏好更多的财富。 果只假设人们偏好更多的财富。 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。 3. 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。
∆S = ST − S
∆W为期权的收益 (一) 在(∆S,∆W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头 一 ∆ ∆ 平面上看涨期权多头和看涨期权空头 的收益 (二) 在(∆S,∆W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头 二 ∆ ∆ 平面上看跌期权多头和看跌期权空头 的收益 :(为了说 三、在(∆S,∆W)平面上, 股票和债券的收益:(为了说 S,∆W)平面上, 股票和债券的收益:( 平面上 明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素） 明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）
二、期权定价的二期模型 为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型 为了得到多期期权价格公式 首先讨论二期模型 设二期无风险利率为r，每期复利一次， 设二期无风险利率为 ，每期复利一次，则一元钱的投 资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为 ， 设股票的初始价格为S， 资到二期后有 与一期模型一样,为了得到期权的价格， 与一期模型一样 为了得到期权的价格，构造无风险套期 为了得到期权的价格 保值证券组合,从而得到 从而得到： 保值证券组合 从而得到：
或买马鞍式）： 4. 底部马鞍式组合 （ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权， 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X 顶部马鞍组合（ 或卖马鞍式) 5. 顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权， 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X 底部梯形组合（ 6. 底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买 入梯形组合) 入梯形组合)： 买入一份看涨期权和一份看跌期权, 买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是 其中X X1和X2，其中X2 >X1。 顶部梯形组合（ 7. 顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯 形组合) 形组合)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权， 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为 其中X X1和X2，其中X2 >X1 。
Xl < Xm < Xu
11. W型 型 以例子说明该证券组合： 以例子说明该证券组合：
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第二节 期权定价的二叉树模型 一、期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 二叉树期权定价模型： 二叉树期权定价模型 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用 不存在 无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。 无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的 股票价格只取两种可能的值。 股票价格只取两种可能的值。 先讨论一期模型 ： （一）股票价格的一期变化规律 必须成立,否则可能出现套利 注: 条件 u > 1 + r > d 必须成立 否则可能出现套利 机会。 机会。 （二）以股票为标的期权价格
令
(1 + r ) − d p=
u−d
1+ r
u − (1 + r ) 1-p= u−d
( pCu + (1 − p ) Cd ) C=
p称为套期保值概率。 称为套期保值概率。 称为套期保值概率
事实上,若投资者是风险中性， 事实上 若投资者是风险中性，则有 若投资者是风险中性
(1 + r ) S = quS + (1 − q ) dS
(四) 其他期权组合的收益 牛市价差买卖(bullish 1. 牛市价差买卖(bullish vertical spread) ： 购买一份执行价格为X 的看涨期权， 购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格 的看涨期权，其中X 是X2的看涨期权，其中X2 >X1 熊市价差买卖（ spread）： 2. 熊市价差买卖（bearish vertical spread）： 卖出执行价格为X 的看涨期权， 卖出执行价格为X1的看涨期权，买入一份执行价格是 的看涨期权，其中X X2 的看涨期权，其中X2 >X1。 蝶式价差买卖(butterfly spread）： 3. 蝶式价差买卖(butterfly spread）： 它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合， 它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一 和一份执行价格为X 的看涨期权， 份执行价格为 X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖 出两份执行价格为X 的看涨期权。其中， 出两份执行价格为X3的看涨期权。其中，X2> X3 > X1 ， 且 X1 + X 2 X3 = 2
由于所构造的证券组合是无风险证券组合， 由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期 末时它在各状态的收益是一样的。 末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合 条件，我们有： 条件，我们有：
uS − mCu = dS − Cd
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有： 由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有： （1+r)(S-mC）=uS-mCU ）
叠做期权（Straps）： 8. 叠做期权（Straps）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权， 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。 到期日都相同。 9. 逆叠做期权（Strip）： 逆叠做期权（Strip）： 和一份看涨期权， 购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。 和到期日。 10. 三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为 三明治买卖（ 期权： 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为X Xm看涨期权 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权， Xu的看涨期权 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即
由此得
(1 + r ) − d q=
u−d
p=q 所以通常也称p为风险中性概率 所以通常也称 为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ， 例如 设 ， ， ， ， 求C。 。 注1. 由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 × 1.869596=19.13
在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。 在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。 购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。 购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购 买权利的期权称为看涨期权， 买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看 跌期权。 跌期权。 这一章，首先讨论欧式期权及其组合的损益， 这一章，首先讨论欧式期权及其组合的损益，并以简 讨论欧式期权及其组合的损益 明的图象表示出来。 明的图象表示出来。 第二，介绍期权定价的二叉树模型。 第二，介绍期权定价的二叉树模型。 第三，介绍以债券为标的资产的期权。 第三，介绍以债券为标的资产的期权。 第四，讨论n期二叉树模型。 第四，讨论n期二叉树模型。 最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。 最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。
第一节
(欧式)期权及其组合的损益 欧式)
一、（欧式）期权交易到期的损益分析 、（欧式） 欧式 设执行价为X 在期权到期时刻T,股票价格为S 设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为ST T,股票价格为 （一）看涨期权到期日的损益分析 1. 2. 看涨期权多头（买），（赋予权力） 看涨期权多头（ ），（赋予权力） 赋予权力 看涨期权空头（ ），（承担义务） 看涨期权空头（卖），（承担义务） 承担义务
在期末所得到的无风险收益为22. 在期末所得到的无风险收益为
S-mC=21-1×1.869565=19.13
uS-mCu=1.4 × 21-1 × 7.4=22
此套期保值的证券组合为,买一份股票, 注2. 此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份 看涨期权. 看涨期权. 注3. 投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.
由上面推导期权定价的过程可知, 注4. 由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合, 于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得无风险回报率, 是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券 的回报率. 的回报率. 如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合 如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合 ), 的收益率比无风险收益率高(或低)的回报, 的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机 会就存在. 会就存在.
C=
S ( (1 + r ) − u ) + mCu m (1 + r )
的值代入时,有 称为套期保值率hedge ratio) 将m的值代入时 有 (m称为套期保值率 的值代入时 称为套期保值率
(1 + r ) − d u − (1 + r ) Cu + Cd u−d u − d C= 1+ r
第八章 期权及其二叉树模型
金融期权（ 金融期权（financial option）简称为期权是主要的金 ） 融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程 融衍生产品，它是金融工程的主要工具 也是构成金融工程 其它金融衍生产品的基础。 其它金融衍生产品的基础。 期权合约是买卖双方签定的一种协议， 期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期 权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售 或出售） 权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买 或出售） 某一资产的权利。但是， 某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可 以不行使这个权利。 以不行使这个权利。 如果到了规定的时间，而不行使这种权利， 如果到了规定的时间，而不行使这种权利，则这种权 利就失效了。 利就失效了。
(一) 股票买卖的收益 (二) 债券买卖的收益 (三) 无风险证券组合的构造: 无风险证券组合的构造: 购入一份股票、 购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一 份看涨期权 购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。 1. 购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。 2. 卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益 3. 购入一份股票的收益 S+P- 损益的数学表达式： 4. S+P-C损益的数学表达式： 5. 直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险 证券组合
（二）看跌期权到期日损益分析 看跌期权多头( (赋予权力 赋予权力) 1. 看跌期权多头(买), (赋予权力) 看跌期权空头( 2. 看跌期权空头(卖), (承担义务) (承担义务) 承担义务
S,∆W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的 二、 在(∆S,∆W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的 损益表示 设股票初始价格为S, 期权的执行价格为股票初始价格， 设股票初始价格为S, 期权的执行价格为股票初始价格， 令
设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格 设以该股票为标的看涨期权的价格为 执行价格 为22,则 则
q
C
Cu = max(0, uS − X ) = 7.4
1-q
Cd = max(0, dS − S ) = 1.1
对此期权如何定价是合理的? 为了解决此问题, 对此期权如何定价是合理的 为了解决此问题 构造一个无风险套期保值的证券组合： 构造一个无风险套期保值的证券组合： 购买一份股票，卖掉 份期权 这个证券组合的价值： 份期权， 购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：