应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)

X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
I I
p p
Ip I
p
X X
(1) (2)
CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)
Байду номын сангаасCD(
X
)C
I I
p p
Ip I
p
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
1 1
2 2
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
2(1 O
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp
1 2
(2 x12
x22
2 x1 x2
22 x1
14 x2
65)
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
4 3
u1u2
1
2
exp[
1 2
(2u12
u22
2u1u2 )]du1du2
1
2
u12
u1e 2
1
2
u2e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u12
u1e 2
1
2
(u2
u1
)e
1 2
(u2
u1
)
2
du2
u1
e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u e
2
u12 2
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X1 X1
X2 X2
~
N2
1 1
2 2
,
2
2(1 0
)
0 2(1
)
X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )); X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )).
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
1 ) 2
21 2(x1
1)(x2
2
)
2 1
(
x2
2
)
2
]
比较上下式相应的系数,可得:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
1
1 2 1
2 1
1
2
1/
21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
002,
A
0.5 0.5
1 0
00.5.5, d 12.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
X
X X
(1) (2)
~
N2 p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.
(2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y
1
11
2
1
1
11
0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y
YY12
X1 X1
X2 X2
11
11
X1 X2
CX
则 Y ~ N2 (C,CC)
因ΣY
CC
11
11
2
1
1
11
11
2
11
1111
11
2
2(1 0
)
0 2(1
)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
22 14
12
2 2
22
2 1
21 212
65
2
4211
22 22
22 14
12
4 3
13
第二章 多元正态分布及参数的估计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
解三:两次配方法
(1)第一次配方: 2x12 2x1x2 x22 (x1 x2 )2 x12
1 2
,
2
1
1
.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
Cov(Y1,Y2 )
1
2
)
O
2(1
2
)
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相
互独立.
7
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
~
N2 p
(1) (1)
(2) (2)
,
2(1 O
2)
O 2(1
2
)
所以 X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )); X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )).
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
x1
x2 x1
1
du1
1
0
2
11
第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
且f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp[
1 2
(x
) 1 ( x
)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
12
第二章 多元正态分布及参数的估计
解二:比较系数法
设f
(x1,
x2
)
1 2
exp
1 2
(2x12
f1(x1)
f
(x1, x2 )dx2
1 2
e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x2
(
x1
7)(
x1
7)2
)
e e dx e 2
2
1 2
(
x1
7
)2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1
1 2
(