土木工程制图第四章,直线和平面,平面和平面的位置关系

p
b
土木工程制图
X
O
b
p a
【分析】平面P为铅垂面，因此直线AB与平面P的交点的投影必在平面P的H面 积聚线段上，又因为交点是两者的公共点，所以p与ab的交点k既为所求交点 的H面投影，由此作连系线，再与a′b′交得k′。
p
1(2)
k
b
X
b 2k 1p
土木工程制图
作图步骤： a
1、判断交点的H面投影位置。
一、一般位置直线与特殊位置平面相交
土木工程制图
由于平面处于特殊位置时，其某一投影具有积聚性因此可利用其积聚投影来 求交点，并判别可见性。
如图所示，一般线AB与铅垂面P 相交，交点K 既在AB上又在P 平面上。
PA B
K
p b
b
k
H
a
X b
p
【例9】 求直线AB与平面P的交点K，并判别可见性。 a
e
c
k
n
ha
线DG和正平线EH，然后过A作
g
直线AK与水平线和正平线垂 直，即ak⊥fg，
d
f
m
a′k′⊥d′h′。则AK即与 X
△DEF垂直。
e
o
am
② 包含AB作平面平行于
g
MN。即作一直线AC，使 ac//mn, a′c′//m′n′,则
d
直线AK与AC所组成的平面平
行于直线MN。
k
h
cn
f
4.3直线与平面、平面与平面相交
四、一般位置平面与特殊位置平面相交
土木工程制图
一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性投影
求交线，并判断可见性。
A
a
P
M
N
Bp a
b
mn
C
c H
b
X a
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铅垂面P与△ABC 相交，由于P 面的H 面投影积聚为p，交线MN 的Hb 投影mn 在p上；交线MN既在△ABC上又在平面P上。利用平面的积聚投影求交线，并判别
第四章 直线与平面、平面 与平面的相对土位木工置程制图
教学提示：在空间中，直线与平面之间和 两平面之间的相对位置可分为 平行、相交及垂直3种情况。
学习要求：掌握直线与平面之间和两平面 之间3种相对位置关系的判定条 件以及求其交点、交线的作法。
4.1 直线与平面、平面与平面平 行
一、直线与一般平面平行
2、作出交点的V面投影。
3、判断交点两侧直线的可见性。
O
（1）可见部分与不可见部分的分界点
为交点K，从水平投影中可以看出，在k点
的右边，ab在p的前面，因此k′的右边
k′a′为可见，左边k′b ′为不可见。
（2）也可用重影点来判断，即取AB与
a
平面P边线的重影点1′（2′），其在H面上
的投影1在2的前方，故由前向后看，2点
① 过DE 作铅垂面P。可在投影图上延长de，加上标记PH。 ② 求P 和△ABC 的交线FG,fg和f′g′ 即为交线的两面投影。 ③ f′g′与d′e′ 相交于点k′，从k′ 引铅直连线与de 相交于k，则 k、k′即为所求交点的两面投影。
④ 判别可见性,整理如图。
六、一般位置平面与一般位置平面相交
土木工程制图
两一般位置平面相交。求两一般位置平面的交线时，可选其中一个平面内的 任一直线，求出它与另一平面的交点，即得交线上的一个点。用同样方法求出 另一个点，两点连线即为两平面的交线。
c
c
m
b
a
d
d
b
c
d
c
d
a
m
三、两平面相互垂直
P
土木工程制图
L B
D
C
A Q
两平面垂直的几何条件是：若一平面上有一直线与另一平面垂直，则两平面相
互垂直。如图所示，因P平面中一条直线L垂直于平面Q,则P⊥Q。
在特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，则两平面的垂直关系可 直接在两平面的积聚投影中表现出来。
【例10】求直线AB与△CDE的交点K，并判别可见性。
土木工程制图
e
X e
a c
d b
O c ab d
(a)
e
X e
a
c
AC
1
kK
E
B2(3) dD
b
O
e1
cc
3 aakkb
H
2
d
d
(b)
e
X e
土木工程制图
a c
1 k
d
2(3)
b
O
1
c
3k
2
d
作图步骤：
（1）求交点
因直线AB在H面积聚成一点， 则交点k必在其上，且交点K又在 △CDE上，可根据平面上取点的方 法作辅助线DI,然后求出k′。
由此可得出利用辅助平面求一般位置的直线 与平面交点的作图方法： (1)包含AB 直线作一辅助平面R; (2)求辅助平面R 与己知平面CDE 的交线MN； (3)求AB 直线与交线MN 的交点K。
【例13】 已知直线DE和△ABC的两投影，试求DE和△ABC的交点土。木工程制图
土木工程制图
作图步骤：
P
B A
b
a
p
b a
Q
b
p
a
H
直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平 面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。
【例6】过E点作平面ABCD的垂线。
土木工程制图
b
e
d
a
c
d
c be a
【分析】如图所示，平面ABCD为铅垂面，在H面积聚为一条线段，要作铅垂面的 垂线，只需作出其H面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所 求垂线的V面投影一定为平行于OX轴直线。
e b
e b
a
c
d
a
c
m
d
X
OX
O
a
c
a
c
b
de
mb
de
4.2 直线与平面、平面与平面垂直 土木工程制图
一、直线和一般平面垂直
L
C
B
A
D
P
e q
h
b
直线d与平面垂直的几c 何条件
是：若直a 线垂直于平面内的两 相交直线，则该直线与平面垂
直。反之，若直h 线垂直于平面，
则该直q 线垂直于平面内的所有
不可见，其所在的直线段2′k′不可见，
因而2′k′ 画为虚线。）
二、投影面垂直线与一般位置平面相交
土木工程制图
由于直线具有积聚性，因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。 a
AC
K
E B
D
e
c
akb
H
d
e b
X e
ab
(a)
如图所示，铅垂线AB与平面△CDE相交，交点K既在AB上又在CDE平面上。
【例8】过点A作平面ABC垂直于△DEF且平行于MN。 土木工程制图
【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所
作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线MN，故作另一直线平行于MN即可。
e
d
X
e
d
n
a
f
m
o
am
n
e
g
d
X
e
g d
f
土木工程制图
作图步骤：
① 过A点作直线垂直于 △DEF。先在△DEF内作水平
B
b
PM
N
C
A
p bc
a
m(n)
H
a p
X
b
a
p
(a)
例11】 求△ABC与平面P的交线MN，并判别可见性。
土木工程制图
b
b
B
a
p
c
m
PM
a N nC
c
A
1(2)
p
X a
OX
p bc
O
b
c
p
a
m(n)
2
b
c
H
a 1 m(n) p
(a)
(b)
b
m
a
1(2)
n
c
p
X
2
c
a
1 m(n) p
土木工程制图
（2）判断可见性 取交叉两直线的重影点II、
III，从H面可知，2在前，3在后， 在V投影面上为2′（3′）。因II 在△CDE上，而III在直线AB上， 故k′b′不可见，应画虚线。
三、两特殊位置平面相交
土木工程制图
当两平面均垂直于某投影面时，它们的交线也垂直于该投影面。可利用 两平面的积聚投影求交线，并判别可见性。
可见性。
(a
【例12】 求△ABC与平面P的交线MN，并判别可见性。
土木工程制图
a
a
1(2)
p
m
pA
P
c
n Mc
C
b
b
N
X a
OX
Bp a
ab m n
Oc
X
H
c
m2 1
c
b
p
b
np
4.22 一般面与铅垂面相交
(a)
(b)
土木工程制图
a
1(2)
mp
n
c
b
X
O
a
m2 1
c
b
n
p
a
1作(2)图m 步骤：p
土木工程制图
直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点是平面与直线的共有点， 它既在直线上又在平面上。
平面与平面相交于一条直线，该直线称为交线，交线是两平面的共有线， 它应同属于两平面。
直线与平面、平面与平面相交的求解方法一般有两种。 （1）积聚投影法：当直线或平面有积聚投影时，可利用积聚投影来求交 点或交线。 （2）辅助面投影法：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来 求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊 情况，然后再讨论一般的作图方法。
作图步骤：
（1）求交点
如图所示，因△ABC与平面P 均垂直于H面，故交线必为铅垂线， 且积聚于一点m(n)，然后作出此交线 的V面投影m′n′，它的长度仅为两 平面在V面的共有部分。
O
（2）判断可见性
在V面投影中，取交叉两直线 的任一重影点I、II，判断可见性1′ （2′），从H面可知，1在前，2在后， 因1在ABC上,而2在平面P上，故 a′n′可见为实线。这时交线mn为可 见与不可见的分界线。
土木工程制图
直线L与P平面内的直线AB平行，则L平行于平面P。反之，如果直线L平 行于P平面，则在平面P可以找到与直线L平行的直线。
L
b
A
a
c
X
O
B
c
a
b
检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直
线平行。
4.1 直线与平面平行
4.2 过
【例1】 过C点作平面平行于已知直线AB。
b de
a
b
f
de a
c
c
X
OX
O
d
d
a
cb
e
a
cb
f e
三、两一般平面相互平行
土木工程制图
D QE
F
A PB
C
若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平 行，则这两个平面互相平行。
【例3】已知A点和△DEF，过A作一平面平行于△DEF土。木工程制图
【分析】如图4.6（b）所示，过A点作两条直线AB和AC，使AB//DE,AC//DF, 即ab//de，a′b′//d′e′, ac//df, a′c′//d′ f′，则AC和AB所决定的
土木工程制图
【分析】如图所示，过C点作CD//AB，即cd //ab,c′d′// a′b′，再过点C任作一
直线CE，即ce，c′e′，则CD、CE相交决定的平面为所求。
a
X a
b c
b
a
c
O
X
c
c
a
b
b
d e O
d e
二、直线与投影面垂直面平行
土木工程制图
A P
C
B D
p
c
a
d b
p
Ha
c
b
d
X
平面即为所求。
e X
d a
e
f
O
X
d a
f
b c
O
d
e
a
f
d b
e
a
c
f
四、两投影面垂直面相互平行
土木工程制图
Vp
q
P
Q
X
O
p
q
H
p
q
X
O
p
q
当两个投影面垂直面P与Q相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影 面的交线，也相互平行。
【例4】过线段AB作平面平行于平面△CDE。
土木工程制图
【分析】由已知可得，△CDE 为铅垂面，且ab//cde，过a作a′m′//c′d′,连 接b′m′，则△AMB即为所求 。
土木工程制图
b
a
em d
c
e
d
cb
a
m
作图步骤：
① 过e点作em⊥ad，则em
即为所求垂线的H面投影。 ② 过e′作OX轴的平行
线，过m向上作连系线，两者 交于一点m，则e′m′ 即为 所求垂线的V面投影。
【例7】作正垂面垂直于正平线CD。
土木工程制图
【分析】要作正垂面垂直于正平线，只需在V投影面作c′d′的垂线，在此垂线上我们 定 点a′、b′、m′，向下作连系线，可确定平面△ABM即为所求正垂面。
【分析】 ① 如图4.10（b）所示，要过E作平面Q的垂线，可先作出Q平面上正平线 AB 和水平线CD 的两面投影ab，cd，a′b′，c′d′；
② 过e，e′分别垂作eh⊥cd，e′h′⊥a′b′，EH即为所求垂线。
e q
q e
e q
h
b
d
c
a
h q
e
d
a
b
c
二、直线和投影面垂直面垂直
土木工程制图
土木工程制图
R N D
A K
M
C B
直线与一般位置平面相交。由于一般位置 直线、平面的投影没有积聚性，因此，在投 影图中不能直接求出它们的交点。
直线AB与平面△CDE 相交，由于交点K 是平面 与直线的共有点，故过K 点可在平面CDE 内任作
E 一直线MN，直线MN 与已知直线AB 可构成一个辅
助平面R，而MN 就是辅助平面与已知平面的交线。 MN 与直线AB 的交点K 即为已知直线与平面的交 点。
p
Ha
c
b
d
直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂 直面的积聚投影平行。
【例2】 过E点作直线平行于平面ABCD。
土木工程制图
【分析】过e作ef //ad，过f 向上作连系线，则过e′与连系线相交的直线都 为所求，此处我们取其中一条，即过e′作c′d′的平行线，与连系线相交于 一点即为f′。
直线。
e
d
注意：
a
b
c
在投影图上作平面的垂线时，可作出平面上的正平线和水平线作为面上的相
交二直线。
根据两直线垂直的直角投影特性可知，所作垂线与正平线所夹的直角，在V
面投影仍反映为直角。垂线与水平线所夹的直角，在H面投影仍反映为直角。
【例5】 如图4.10（a）所示，过E点作平面Q的垂线。土木工程制图
如图所n 示，因c 平面P 垂 b 直H 面，故交线mn 必在p
上，为△abc与p 的公共 X 部分，交点为mnO,利用交
线MN在a △ABC上，由mn求 mm点′112n′′（。2′利）用cV来判面别的可重见影
b 性。 n p
(a)
(b)
a 1(2)
mp
nc
b
X
a
m2
1
b
n
O
c p
土木工程制图
五、一般位置直线与一般位置平面相交