固体物理中的能带理论

固体物理中的能带理论

摘要

本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。

关键词：能带理论包络函数近自由电子近似

1 引言

能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。

固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的晶体管相比拟。

2 布洛赫定理[1]

能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为:

（1）

且有（2）

为任一晶格矢量。

R

n

布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时,波动方程的解Ψ具有如下性质：

（3）

时，波函数只增其中K为波矢量，（3）式表示当平移晶格矢量R

n

加位相因子e ik·Rn。（3）式就是布洛赫定理。根据定理可以把波函数写成

（4）

其中u(r)具有与晶格同样的周期性，既

（5）

（4)式表达的波函数称为布洛赫函数，它是平面波与周期函数的乘积。

3 一维周期场中电子运动的近自由电子近似[1，19]

这是一个一维的模型，通过这个模型的讨论，可以进一步了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点。

图1中画出了一维周期场的示意图。所谓近自由电子近似是假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，可以用势场的平均值代替V(x)。把周期起伏[V(X)- 〕做为微扰来处理。

图1一维周期场

零级近似的波动方程为

（6）

它的解便是恒定场中自由粒子的解

（7）

上式在归一化因子中引入晶格长度L=Na，为原胞的数目，a是晶格常数(原子间距)。引入周期性边界条件可以得到k只能取下列值

（8）

很容易验证波函数满足正交归一化条件。

（9）

由于零级近似下的解为自由电子，所以称为近自由电子近似。按照一般微扰理论的结果，本征值的一级和二级修正为

（10）

（11）

波函数的一级修正为

（12）

其中微扰项

具体写出为

其中前一项，按定义就等于平均势场，因此能量的一级修正为0。

和都需要计算矩阵元，由于k，和k两态之间的正交关系

现在我们证明，由于V(x)的周期性，上述矩阵元服从严格的选择定则。将

按原胞划分写成

对不同的原胞n，引入积分变数

并考虑到V(x)的周期性

就可以把前式（12）写成

（13）

现在区分两种情况:

（1），即k，和k相差，在这种情况下，显然，(13)式中的加式内各项均为1，因此

（14）

（2），在这种情况下，(13)式中的加式可用几何级数的结果写成

K，和k又可写成{见(8)式}

因此，上式中的分子

同时，分母由于，所以不为零，在这种情况下，矩阵元（13）恒为零。

综合以上，我们得到，如果，则

（15）否则

表示的积分实际上正是周期场V(x)的第n个傅立叶系数。很容易看到，上式中以V

n

根据这个结果，波函数考虑了一级修正(12)式后可以写成:

（16）

连加式的指数函数，在x改变a的整数倍时，是不变的，这说明括号内为一周期函数。这类似于布洛赫函数的形式:可以写成一个自由粒子波函数乘上具有晶格周期性的函数。

根据(15)，二级微扰能量可以写成

(17)

值得特别注意的是，当

（18）

也就是

（19）

时，趋于, n表任意一个整数，也就是说，当k为整数倍时，E (2) k

趋向。很显然，该结果是没有意义的。它只说明，以上的微扰论方法，对于在(19)式附近的k是发散的，因此不适用。