高量7-01a 二次量子化方法

二、力学量的表示
●单粒子算符 例：单粒子动能算符
N个粒子体系的动能算符
在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 23
二、力学量的表示
●双粒子算符 例：两个粒子相互作用位能算符
N个粒子体系总的相互作用位能算符
在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 24
●态矢量的正交归一化 →产生算符与消灭算符之间的对易关系 态矢量内积；三个可能值
N=1的情况
N=2的情况
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 19
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●N个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示 态矢量表示 厄米共轭 反对易关系 利用对易关系计算
a | 1 1 11 0
当n+m=奇数，为零
当n+m=偶数，为一切可能的收缩乘积之和
例： 0 | a1 a 2 a 3 | 0


0 | a a a a | 0
1 2 3 4


2017年1月14日星期六 10时0分9秒
30
三、Wick定理的应用
●利用Wick定理，可以方便地计算矩阵元
0 | a2 a1a a a a a a | 0
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 2
§7.1 中心场近似
Central Field Approximation
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
3
一、多粒子体系的哈密顿量
● 非相对论近似下的哈密顿量 例：原子序数为 Z 的原子中的 Z 个电子系统
ˆ 0 [ H
i 1 Z
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 12
§7.3 粒子数表象
Representation of Particle Number
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
13
一、粒子数表象的由来
●上述结论启发人们采用粒子数表象
引入粒子的产生和消灭算符 以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算 这种方法就叫做二次量子化方法
1 2




▲计算单粒子算符和双粒子算符矩阵元
0 | a a a a a a | 0
N 1 1 N



列表→ i i
i 1
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 31
N
三、Wick定理的应用
▲计算单粒子算符的矩阵元（续）
0 | a a | t | a a a a | 0
ˆi U (ri )] e U (ri ) ˆ [h H r
2
Z
Z
Z
i 1
i j
ij
i 1
U (ri ) 的选择应使得两者之差可视作微扰→
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
中心场近似
6
二、中心场近似
● 中心场近似的实质 把Z个具有相互作用的电子看作相互无作用地 在一个共同的中心场中运动——零级近似 零级近似哈密顿量 分离变量求解 原子核物理中的独立粒子模型
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
14
二、粒子的真空态；产生消灭算符
●真空态定义；归一化条件 ●产生算符的定义
单个粒子的状态
N个粒子的状态
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
15
二、粒子的真空态；产生消灭算符
●消灭算符的定义
作用于真空态的效果
产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
第七章 二次量子化方法
２００４年１１月
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
1
引
言
●波动力学方法难以处理全同多粒子体系 →发展了二次量子化方法 ▲引入粒子占有数表象—用各单粒子态上填 充的粒子数描述状态；交换对称性自动满足 ▲基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 ▲任意态矢和力学量均可用它们表示 ▲有系统的法则计算力学量的矩阵元
i
i 1
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
21
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a a | n1n2 ni ni | n1n2 ni
i i
当ni 0 当ni 1
ˆ N a a 的意义——粒子数算符
i i i
总粒子数算符
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 22
28
一、正规积与收缩
●收缩的定义 两算符乘积的收缩＝乘积－正规积
总共只有四种收缩
→收缩是个数
0 | AB | 0 0 | AB N ( AB) | 0 AB
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 29
二、Wick定理
●n个产生算符与m个消灭算符的交叉乘积 在真空态上的平均值
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 10
二、全同玻色子体系的波函数
●N个玻色子占有N个状态 一般表达式
N=3的例子
●N个玻色子占有m个状态
一般表达式
N=3的例子
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 11
三、一般结论
●对称性确保满足全同性——不可分辨性 费米子体系波函数的反对称性 确保满足泡利不相容原理 ●在中心场近似下，只需知道 1、哪几个单粒子态被占有 2、每个单粒子态上有几个粒子 即可知道全同粒子体系的状态
与此完全一致
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
26
§7.5 维克定理
Wick Theorem
Hale Waihona Puke Baidu
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
27
一、正规积与收缩
●正规积定义 一个以上产生消灭算符乘积的正规积为全部 产生算符排在全部消灭算符的左边 例子；正负号问题 正规积作用于真空态
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
16
§7.4 粒子数表象中费米子体系 的波函数及力学量的表示
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
17
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●产生算符表示状态应与Slater行列式等价 →产生算符的对易关系
→消灭算符的对易关系
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
18
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
i
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
1 2 i N
20
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a | n1n2 ni () P ni | n1n2 1 ni
i
ni 0或1，i 1,2,3,
P nr
r 1
a | n1n2 ni () P 1 ni | n1n2 ni 1
二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到
▲单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
有一个态不相同的情况 ▲双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元 有一个态不相同的情况
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 25
二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 在粒子数表象下用上述力学量计算的结果
ˆi h
2 2 m i
2
Ze r
i
2
(ri )li si
可分离变量求解
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 5
二、中心场近似
● 用单粒子位代替库仑排斥力 ˆ 1 的存在使得 H ˆ E 不能严格求解 H 考虑电子间库仑斥力具有很大的球对称成分 →可取一球对称的单粒子位函数之和代替
N 1




1
N
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
32
三、Wick定理的应用
▲计算双粒子算符的矩阵元
0 | a a a a a a a a | 0
N 1 1 N




N 1
N
i j j 1
i j
(
e2 rij
Z
2 2m

2 i
Ze 2 ri
]
ˆ 1 rij | ri r j | H i j Z ˆ 2 (ri )li si H
i
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 4
一、多粒子体系的哈密顿量
● 哈密顿量中各项的分析 ˆ 1和H ˆ 2 的相对影响依赖于原子序数大小 H 小，前者重要，后者可视作微扰；大，反之； ˆ H ˆ0 H ˆ2 H ˆ1 一般，二者都较重要，此时 H ˆ0 H ˆ 2 为如下单粒子算符之和 其中 H
本征函数
本征值 ▲用产生消灭算符表示的哈密顿量与粒子 数无关，粒子数只表现在态矢量上
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 34
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 7
二、中心场近似
● 多粒子系统的哈密顿量 例：原子序数为 z 的原子中的 z 个电子系统
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
8
§7.2 N个全同粒子体系的 波函数
零级近似波函数
2017年1月14日星期六 10时0分9秒
9
一、Slater行列式
● 全同粒子不可分辨性的后果 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 玻色子—交换对称 ●中心场近似下N个费米子体系的状态波函数 Slater行列式；写成求和形式 N个对象的排列算符； N=3的例子
j i i j j i j i j i j j i
i
)
代入双粒子位能算符矩阵元表达式→
2017年1月14日星期六 10时0分9秒 33
三、Wick定理的应用
●哈密顿量在粒子数表象中的的表达式 N个全同费米子体系零级哈密顿量的解